משפט גלפונד-שניידר

במתמטיקה, משפט גלפונד-שניידר הוא משפט הקובע תחת אילו תנאים העלאת מספר אלגברי בחזקת מספר אלגברי נותנת מספר טרנסצנדנטי. המשפט עונה בחיוב על הבעיה השביעית של הילברט. המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר גלפונד בשנת 1934 ובאופן בלתי תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני תאודור שניידר בשנת 1935.

המשפט קובע כי אם ${\displaystyle \ a,b}$ מספרים אלגבריים כך ש-${\displaystyle \ a\neq 0,1}$, ו-${\displaystyle \ b}$ אי-רציונלי, אז ${\displaystyle \ a^{b}}$ טרנסצנדנטי.

תנאי המשפט

• המשפט לא מוגבל למספרים ממשיים ותקף גם למספרים מרוכבים. במספרים מרוכבים חזקה היא פונקציה רב-ערכית וייתכן יותר מערך אחד ל-${\displaystyle \ a^{b}}$. המשפט תקף לכל ערך נבחר.
• המשפט קובע תנאים מספיקים לכך שאלגברי בחזקת אלגברי יהיה טרנסצנדנטי. עוד קודם לכן היה ידוע כי אלו גם תנאים הכרחיים:
  • אם ${\displaystyle \ a=0}$ או ${\displaystyle \ a=1}$ אז ${\displaystyle \ 0^{b}=0}$ ו-${\displaystyle \ 1^{b}=1}$ בהתאמה, ולכן התוצאה אלגברית.
  • אם ${\displaystyle \ b={\tfrac {p}{q}}}$ רציונלי אז מכיוון ששדה המספרים האלגבריים סגור אלגברית, גם ${\displaystyle \ a^{b}={\sqrt[{q}]{a}}^{p}}$ אלגברי.
• ההגבלה ש-${\displaystyle \ b}$ יהיה אלגברי נחוצה גם היא. אם נדרוש רק ש-${\displaystyle \ b}$ יהיה אי-רציונלי, קל למצוא דוגמה נגדית למשפט: ${\displaystyle \ 3^{\log _{3}2}=2}$.

השלכות

משפט גלפונד-שניידר משמש להוכחת הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה של מספרים. דוגמאות מפורסמות כוללות את:

• קבוע גלפונד-שניידר, ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ והשורש שלו, ${\displaystyle \ {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$.
• קבוע גלפונד, ${\displaystyle \ e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}}$ (לפי זהות אוילר).
• ${\displaystyle \ i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}}$ (לפי זהות אוילר).
• לפי המשפט אם ${\displaystyle \ a,c}$ אלגבריים אז ${\displaystyle \ \log _{a}c={\frac {\log {c}}{\log {a}}}}$ טרנסצנדנטי או רציונלי (אחרת ${\displaystyle \ a^{\log _{a}c}=c}$ דוגמה נגדית למשפט). למשל ${\displaystyle \ \log _{3}2}$ אינו רציונלי (נובע מכך ש-2 ו-3 ראשוניים), ולכן טרנסצנדנטי.

ראו גם

• משפט לינדמן-ויירשטראס

קישורים חיצוניים

• משפט גלפונד-שניידר, באתר MathWorld (באנגלית)

• Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.