משוואת ריינולדס

משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.

המשוואה הכללית

גאומטריה כללית עבור משוואת ריינולדס

עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

כאשר:

• ${\displaystyle x,y,z}$ - הן קואורדינטות קרטזיות.
• ${\displaystyle p}$ - לחץ כפונקציה של ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle h}$ - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle \rho }$ - צפיפות הנוזל.
• ${\displaystyle \mu }$ - צמיגות הנוזל.
• ${\displaystyle U_{a}}$ - מהירות בכיוון ${\displaystyle x}$ של המשטח התחתון.
• ${\displaystyle U_{b}}$ - מהירות בכיוון ${\displaystyle x}$ של המשטח העליון.
• ${\displaystyle w_{a}}$ - מהירות בכיוון ציר ${\displaystyle y}$ של המשטח התחתון.
• ${\displaystyle w_{b}}$ - מהירות בכיוון ציר ${\displaystyle y}$ של המשטח העליון.

הנחות המודל

1. הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
2. אינרציה וכוחות גוף זניחים.
3. שינויים בלחץ לאורך ציר ${\displaystyle z}$ זניחים כלומר ${\displaystyle p=p(x,y)}$
4. הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
5. אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.

משמעות איברי המשוואה

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)}$ - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)}$ -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
• ${\displaystyle \rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}}$ - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
• ${\displaystyle \rho \left(w_{a}-w_{b}\right)}$ - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
• ${\displaystyle h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ - התפשטות מקומית של הנוזל.

הרחבת איבר הזרימה עקב גזירה

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=h\left(U_{a}+U_{b}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho }{2}}\right)+\rho h{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\left(U_{a}+U_{b}\right)\rho {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {h}{2}}\right)}$

• עבור משטחים קשיחים האיבר ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=0}$
• שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב. על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות ${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}<0}$
• האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר ${\displaystyle x}$ זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה.${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}>>{\frac {\partial \rho }{\partial x}}}$

פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי.

דוגמה לפתרון אנליטי

גאומטריה פשוטה עבור משוואת ריינולדס.

בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר ${\displaystyle x}$ במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע.

הנחות לפתרון הבעיה

1. מצב מתמיד. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=0}$
2. זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה ${\displaystyle \rho =const,\mu =const}$.
3. מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב. ${\displaystyle h<<L}$
4. בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה.

עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\rho U{\frac {\partial h}{\partial x}}}$

פרופיל המשטח העליון הוא:

${\displaystyle h(x)={\frac {h_{2}-h_{1}}{L}}x+h_{1}}$

בידיעת פרופיל המשטח העליון ניתן למצוא את פילוג הלחץ בצורה אנליטית. הפתרון הוא:

${\displaystyle P(x)=-{\frac {6\mu U}{h(x)^{2}}}x-{\frac {k_{1}}{2*h(x)^{2}*{\frac {h_{2}-h_{1}}{L}}}}+k_{2}}$

כאשר ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ הם קבועי האינטגרציה.

קישורים חיצוניים

• הרצאותיו של פרופסור משנה אמיר גת, טכניון.
• Michael Khonsari, E. Richard Booser. Applied tribology, bearing design and lubrication. 2nd ed.