משה זכאי

משה זכאי (Moshe Zakai,‏ 22 בדצמבר 1926 – 27 בנובמבר 2015) היה פרופסור מחקר אמריטוס בפקולטה להנדסת חשמל בטכניון, זוכה פרס רוטשילד בהנדסה לשנת 1994 וחבר האקדמיה הלאומית הישראלית למדעים משנת 1993.

משה זכאי בינואר 2001

ביוגרפיה

משה זכאי נולד בסוקולקה שבפולין, לרחל (לבית סטבורובסקי) וחיים-אליעזר זקהיים (איש העלייה השנייה, חבר ב-קבוצת אחווה ששירת בגדודים העבריים, חזר לפולין ובשנת 1934 עלה לארץ ישראל בשנית), נכד לשולמית (סולקה) והרב שמואל סטבורובסקי. ב־1936 עלה עם אימו לארץ ישראל והמשפחה התאחדה, והתגוררו בחיפה. למד בגימנסיה ביאליק שבחיפה. בעודו תלמיד הצטרף לארגון ההגנה ועם סיום לימודי התיכון שרת במשטרת היישובים העבריים. במלחמת העצמאות שרת בחיל הקשר. סיים לימודי תואר ראשון בהנדסת חשמל בפקולטה להנדסת חשמל בטכניון בשנת 1951. בין השנים 1952–1954 עבד כמהנדס מחקר ברשות לפיתוח אמצעי לחימה, ולאחר מכן התמנה לראש מדור פתוח מערכות מכ"ם. ב־1956 החל לימודי דוקטורט בהנדסת חשמל באוניברסיטת אילינוי באורבנה-שמפיין, אותו קיבל ב־1958. בתום לימודי הדוקטורט שב ל-ישראל ועמד בשנים 1958–1963 בראש קבוצת התקשורת ברשות לפיתוח אמצעי לחימה. בשנים 1963–1964 שהה כפרופסור אורח באוניברסיטת קליפורניה בברקלי. ב-1965 מונה לפרופסור חבר בטכניון, ב־1969 מונה לפרופסור מן המניין. ב־1970 הופקד על הקתדרה לקומוניקציה על שם ויליאם פונדילר. ב־1985 מונה לפרופסור מחקר בטכניון. בשנים 1970–1973 כיהן כדיקן הפקולטה להנדסת חשמל, בשנים 1976–1978 שימש כמשנה לנשיא לעניינים אקדמיים. ב־1998 יצא לגמלאות כפרופסור מחקר אמריטוס.

משה זכאי היה נשוי לשולמית (מיתה) לבית בריסקמן במשך 63 שנים, ולהם שלושה ילדים. אשתו שולמית סיימה תואר שני של אינג'ינר בפקולטה לאדריכלות ובינוי ערים בטכניון, ב־1956. בן דודו היה הכירורג פרופ' מנדל סטבורובסקי.

פרסים וחברויות

• 1973 – נבחר כעמית האגודה הבינלאומית להנדסת חשמל ואלקטרוניקה.
• 1988 – נבחר כעמית האגודה לסטטיסטיקה מתמטית.
• 1989 – נבחר כחבר חוץ של האקדמיה הלאומית האמריקאית להנדסה.
• 1993 – נבחר כחבר האקדמיה הלאומית הישראלית למדעים.
• 1993 – פרס האגודה הבינלאומית להנדסת חשמל ואלקטרוניקה בשטח תורת הבקרה.
• 1994 – פרס רוטשילד להנדסה.
• 1998 – פרס בוגר מצטיין של הפקולטה להנדסת חשמל של אוניברסיטת אילינוי באורבנה-שמפיין.

מחקריו

כללי

זכאי עסק בעיקר בתורה של תהליכים אקראיים ויישומיהם במערכות הנדסיות כגון התגברות על "רעש" במערכות קשר, מכ"ם ובקרה. התהליכים האקראיים הבסיסיים המייצגים את הרעש במערכות כאלה הם תהליכים המשתנים עם הזמן באופן מהיר ביותר והם ידועים כ"רעש לבן" או "תהליך וינר" כאשר הרעש הלבן הוא מעין נגזרת של תהליך וינר. בגלל "העצבנות" (השינויים המהירים) של תהליכים אלה, החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי הקלסי אינו תופס עבור תהליכים אלה. בשנות הארבעים פיתח איטו תורת "אנליזה אקראית" (תחשיב איטו (אנ')) המתייחסת לתהליכי הרעש המהירים עם חוקים מתאימים.

הקשר בין אנליזה אקראית ואנליזה קלאסית

בשנות החמישים התברר שאם פונקציה קלאסית (פונקציה חלקה) הולכת ומתקרבת (מתכנסת) לפונקציה מסוג התנועה הבראונית ואם פונקציות חלקות כאלה מהוות כניסה למערכת פיזיקלית, התוצאות של האנליזה הקלאסית אינן מתכנסות לתוצאות לפי חישוב איטו עבור התגובה של אותה מערכת. במספר מחקרים שכתב זכאי עם וונג, הם מבהירים את הקשר בין שתי הגישות ועל כן איפשרו לפתור בעיות הנדסיות בעזרת התחשיב של איטו.^[1] תוצאות אלה אפשרו את השימוש של תחשיב איטו לבעיות בפיזיקה ובהנדסה.

משוואת זכאי

בעיית סינון (הפרדת האות מהרעש) של משפחה רחבה של מערכות דינמיות ליניאריות ידועה כמסנן קלמן.

בהמשך לזה עלתה בעיה דומה של מציאת המסנן האופטימלי עבור מערכות לא־ליניאריות. התוצאות שהיו ידועות עבור מקרה זה היו מסובכות ביותר. בסביבות 1967 פיתח זכאי משוואה הרבה יותר פשוטה עבור המסנן האופטימלי הידועה כ"משוואת זכאי".^[2] תוצאה זו מהווה נקודת מפנה למספר רב של מחקרים בשטח זה.

יעילותם של פתרונות מקורבים לעומת פתרונות תאורטיים

כיוון מחקרי נוסף עליו עבד זכאי, היה פתרון בעיות בתנאי רעש (כגון מכ"ם, או סינון לא-ליניארי). בהרבה מקרים אין אפשרות לממש את הפתרון האופטימלי בגלל הסיבוך הרב, לעומת זאת קיימים פתרונות "הנדסיים" מקורבים שנתונים לביצוע. במקרים אלה יש חשיבות רבה לידיעה באיזה מידה קרוב הפתרון האופטימלי לפתרון ההנדסי. במספר מאמרים שכתב זכאי (כולל עבודות עם בוברובסקי, זיו, זיתוני) התקבלו תוצאות חדשות שנתנו תנופה רבה לנושא זה.^{[3][4][5][6][7][8][9]}

הרחבות של תחשיב איטו לתהליכים עם פרמטר דו-ממדי (במקום פרמטר של זמן)

הרעש הלבן והתנועה הבראונית (תהליך וינר) הם פונקציות של הזמן, דהיינו של פרמטר חד־ממדי. לצורך טיפול בבעיות אקראיות המתייחסות לשטחים מחוספסים יש צורך להרחיב את תחשיב איטו לתהליכים אקראיים עם פרמטר דו־ממדי, כאשר ה"סדין הבראוני" הוא ההרחבה של תהליך וינר. במספר עבודות משותפות עם וונג (אנ') הרחיב זכאי את המושג של אינטגרל איטו למערכות דו־ממדיות; בין היתר הם הוכיחו שכל משתנה אקראי שהוא פונקציונל של הסדין הבראוני ניתן לייצוג כאינטגרל איטו מורחב של פונקציה אקראית נאותה.^[10][11]

תחשיב מליאוון ויישומו לבעיות הנדסיות

בנוסף לאנליזה הסטוכסטית של איטו, פיתח מליאוון בשנות ה־70 "חשבון וריאציות סטוכסטי" הידוע בשם "תחשיב מליאוון" (אנ'). התברר שבמסגרת התחשיב הזה אפשר להגדיר אינטגרל סטוכסטי שיכיל את האינטגרל של איטו. העבודות של זכאי עם אוסטונל, ניוארט, זיתוני קידמו את ההבנה ואת השימושיות של תחשיב מליאוון.^{[12][13][14][15][16]}

המונוגרפיה של זכאי ושל אוסטונל שראתה אור בהוצאת שפרינגר בשנת 1999, (Transformation of Measure on Wiener Space)^[17] עוסקת בשימוש של תחשיב מליאוון לקבלת קשרים בין מידת וינר (תנועה בראונית) לבין מידות הסתברות אחרות שהן במובן מסוים "דומות" למידת וינר. בשנות האלפיים עסק בהרחבת תחשיב מליאוון להעתקות שומרות מידה (סבוב של התנועה הבראונית).^[18][19] כמו כן, עם אוסטונל, עסק בהכללה למרחבים כלליים קשרים ותוצאות בתורת האינפורמציה שהיו ידועים עבור מרחבים פשוטים יותר.^[20][21][22]

מלחמת יום הכיפורים והתשובה ל־SA-6 (פיתוח הנדסי מתקדם)

במלחמת ששת הימים היו מטוסי חיל האוויר רגילים לחדור בגובה נמוך וכך להתחמק מטילי ה־SA-2 וה־SA-3. אולם במלחמת יום הכיפורים אש נ"מ מרוכזת מנעה את הטיסה בגובה נמוך, אילצה את המטוסים להגביה והמטוסים נחשפו למגוון טילי קרקע-אוויר, ביניהם ה־SA-6, שהפיל עשרות מטוסים, בלי שהיה לחיל האוויר פתרון.

פענוח מנגנון פעולת ה־SA-6 נעשה בשלבים: ב־8–9 באוקטובר נתגלו שרידים מעוכים שלו ברמת הגולן ואחרי כן ראש ביות שרוף שלו. תוך כמה ימים ריכז אדם ליבנה צוות של הרשות לפיתוח אמצעי לחימה אשר בראשו עמדו הפרופסורים משה זכאי ויעקב זיו להבנת שיטת הפעולה של הטיל וב־18 באוקטובר הגיש דו"ח פענוח ראשוני של כל הטיל. יום לפני הפסקת האש, ב־24 באוקטובר, נמצא ראש ביות שלם של הטיל בחווה הסינית. ההגנה נגד הטיל יושמה בפיתוח ה"קורמורן", מתקן חסימה שהוצב על מסוק מדגם יסעור. הפיתוח ארך כחודש ובחודש דצמבר נערך ניסוי מבצעי עם ראש הביות השלם שנתפש שלל. המסוק טס לעברו, ראש הביות איבד את הנעילה ונפל. כבר באביב 1974 סיפקה רפא"ל מספר מערכות "קורמורן" לחיל האוויר.^[23][24]

ספר יובל ליום הולדתו ה־65 לכבודו

• Ely Merzbach, Adam Shwartz (Eds.), Stochastic Analysis: Liber Amicorum for Moshe Zakai, Academic Press, San Diego, California, 1991.

ראו גם

• משוואת זכאי

לקריאה נוספת

• על חייו ומחקריו של זכאי: ראו ספר היובל Stochastic Analysis, Preface ix, Foreword xi–xiv
• לרשימת פרסומים עד 1990 ראו ספר היובל עמ' XX–XV. עבודותיו בין 1990 ל־2000 מסוכמות בספר [99] לפרסומיו בשנים האחרונות ראה Google - Math. arXiv

קישורים חיצוניים

• כרטיס אישי של משה זכאי, באתר האקדמיה הלאומית הישראלית למדעים.
• משה זכאי (1926-2015), דף שער בספרייה הלאומית
• ערב עיון לזכרו של פרופ' משה זכאי / פרופ' יהושע זאבי, פרופ' ברוך פישר ופרופ' חיה כספי, 16 באפריל 2019, הטכניון

הערות שוליים

1. E. Wong and M. Zakai, “On the Relation Between Ordinary and Stochastic Differential Equations”, Int. J. of Engineering Science, 3, pp. 213–229, 1965.
2. 2. .M. Zakai, “On the Optimal Filtering of Diffusion Processes”, Zeitschr. f. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 11, pp. 230–243, 1969.
3. J. Ziv and M. Zakai, “Some Lower Bounds for Signal Parameter Estimation”, IEEE Trans. on Information Theory, IT–15, No. 2, 1969.
4. M. Zakai and J. Ziv, “Lower and Upper Bounds on the Optimal Filtering Error of Certain Diffusion Processes”, IEEE Trans. on Information Theory, IT–18, pp. 325–331, 1972.
5. D. Chazan, M. Zakai and J. Ziv, “Improved Lower Bounds on Signal Parameter Estimation”, IEEE Trans. on Information Theory, IT–21, pp. 90–93, 1975.
6. B.Z. Bobrovsky and M. Zakai, “A Lower Bound on the Estimation Error for Markov Processes”, IEEE Trans. on Automatic Control, AC–20, pp. 785–788, Dec. 1975.
7. B.Z. Bobrovsky, E. Mayer-Wolf and M. Zakai, “Some Classes of Global Cramer-Rao Bounds”, Annals of Statistics, 15, pp. 1421–1428, 1987.
8. B.Z. Bobrovsky, M. Zakai and O. Zeitouni, “Error Bounds for the Nonlinear Filtering for Signals with Small Diffusion Coefficients”, IEEE Trans. on Inf. Theory, 34, pp. 710–721, 1988.
9. O. Zeitouni and M. Zakai, “On the Optimal Tracking Problem”, SIAM J. on Control and Optimization, 30, pp. 426–439, 1992.
10. E. Wong and M. Zakai, "Weak Martingales and Stochastic Integrals in the Plane", Annals of Probability, 4, pp. 570-586, 1976.
11. E. Merzbach and M. Zakai, "Predictable and Dual Predictable Projections of Tow-Parameter Stochastic Processes", Zeitschr. f. Wahrsheinlichkeit-stheorie und Verwandte Gebiete, 53, pp. 263-269, 1980.
12. D. Nualart and M. Zakai, “Generalized Stochastic Integrals and the Representation of Wiener Functionals”, Stochastics, 23, pp. 311–330, 1988.
13. D. Nualart and M. Zakai, “The Partial Malliavin Calculus”. S´eminaire de Probabilit´es XXIII, Lecture Notes in Mathematics, 1372, Springer Verlag, pp. 362–381, 1989
14. A.S. Ustunel and M. Zakai, “On Independence and Conditioning on Wiener Space”, Annals of Probability, 17, pp. 1441–1453, 1989.
15. A.S. Ustunel and M. Zakai, “Applications of the Degree Theorem to Absolute Continuity on Wiener Space”, Prob. Theory and Related Fields, Vol. 93, pp. 509–520, 1993.
16. S. Ustunel and M. Zakai, “The Construction of Filtrations on Abstract Wiener Space”, J. Functional Anal., Vol. 143, pp. 10–32, 1997.
17. A.S. Ustunel and M. Zakai, Transformation of Measure on Wiener Space, Book, Springer, 1999.
18. A.S. Ustunel and M. Zakai, “Random Rotations of the Wiener Path”, Prob. Theory and Related Fields, Vol. 103, pp. 909–929, 1995.
19. M. Zakai, “Rotation and Tangent Processes on Wiener Space”, Seminaire de Probabilities, Vol. 1857, pp. 205–225, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2005.
20. M. Zakai, “On likelihood-ratios, mutual information and estimation error for the additive Gaussian channel”, IEEE Trans. on Information Theory, Vol. 51, No. 9, pp. 3017–3024, Sept. 2005.
21. E. Mayer-Wolf, M. Zakai, “Some relations between mutual information and estimation error on Wiener space”, Annals of Applied Probability, Vol. 17, No. 3, pp. 1102-1116, 2007.
22. E. Mayer-Wolf, A.S. Ustunel and M. Zakai, “Some covariance inequalties in Wiener space”, J. on Functional Analysis, Vol. 255, No. 9, pp. 2563–2578, 2008.
23. ד"ר זאב בונן ודן ארקין, "רפא"ל ממעבדה למערכה", הוצאת נ.ד.ד. מדיה, ישראל, 2003, עמ' 62–64
24. אורי דרומי, איך פוענח סודו של הטיל, באתר הארץ, 17 ביולי 2009