משוואות הקצב של איינשטיין

משוואות הקצב של איינשטיין הן משוואות המקשרות בין שלושת התהליכים של אינטראקציה של חומר עם קרינה אלקטרומגנטית (כגון אור), שהם פליטה ספונטנית, פליטה מאולצת ובליעת אור. אלו משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון עבור קצב התהליכים השונים כתלות בזמן, התלויות גם בטמפרטורה, בתדר הקרינה ובמקדמי איינשטיין, שהם קבועים במשוואות התלויים בחומר ובמעברי האנרגיה הנידונים.

רקע

חומר וקרינה אלקטרומגנטית יכולים להחליף אנרגיה זה עם זה באמצעות בליעה או פליטה של פוטון (חלקיק של קרינה אלקטרומגנטית), על ידי אלקטרון שעובר בין רמות אנרגיה בחומר. קיימים שלושה מנגנונים עיקריים המקיימים את האינטראקציה:

• בליעת אור - בליעה של פוטון גורמת לאלקטרון לעלות מרמת האנרגיה שבה הוא נמצא במנוחה אל רמת אנרגיה גבוהה יותר, השווה לאנרגיה של הרמה הנמוכה ועוד אנרגיית הפוטון.
• פליטה ספונטנית - שבה האלקטרון נופל לרמת האנרגיה הנמוכה תוך פליטת פוטון באנרגיה השווה להפרשי הרמות.
• פליטה מאולצת - שבה פוטון באנרגיה השווה להפרשי האנרגיה בחומר גורם לנפילה מזורזת של האלקטרון ולפליטת פוטון בעל אותה אנרגיה; התופעה הזו היא הבסיס ללזירה.

משוואות הקצב של איינשטיין הן משוואות פנומנולוגיות המתארות את הקצב בו מתרחשים תהליכים אלה, בתלות במאפיינים של החומר הנקראים "קבועי הקצב" או "מקדמי איינשטיין" ובתכונות השדה האלקטרומגנטי החיצוני. במקרה שבו המערכת הנדונה נמצאת בשיווי משקל תרמודינמי, משוואות אלו מאפשרות לקבל את יחסי איינשטיין המקשרים בין קבועי הקצב.

תיאור מתמטי

לצורך הפשטות נתאר מודל של אטום כמערכת בעלת שתי רמות אנרגיה: רמה נמוכה "${\displaystyle \ l}$" ורמה גבוהה "${\displaystyle \ u}$". נסמן את כמות האטומים במערכת "${\displaystyle \ N}$" באשר ${\displaystyle \ N_{l}}$ היא כמות האטומים הנמצאים ברמה הנמוכה ו-${\displaystyle \ N_{u}}$ כמות האטומים הנמצאים ברמה הגבוהה. נסמן באות ${\displaystyle \ \rho }$ את צפיפות האנרגיה של הקרינה האלקטרומגנטית. נסמן את קצב שינוי כמות האטומים ברמה מסוימת באות "${\displaystyle \ R}$": ${\displaystyle R_{i}\equiv -{\frac {\partial N_{i}}{\partial t}}}$ באשר הסימן השלילי מסמן כי כמות האטומים ברמה מסוימת קטנה עקב מעבר אטומים לרמה האחרת.

קצב הפליטה הספונטנית פרופורציוני לכמות האטומים שברמה הגבוהה, ואינו תלוי בגורמים חיצוניים. נסמן את קבוע הפרופורציה, הוא קבוע הקצב, "${\displaystyle A_{ul}}$", וכך, כאשר ${\displaystyle \ R_{sp}}$ הוא קצב הפליטה הספונטנית, משוואת הקצב היא

${\displaystyle \ R_{sp}=A_{ul}N_{u}}$.

קצב הפליטה המאולצת פרופורציוני לכמות האטומים שברמה הגבוהה וכן תלוי בצפיפות האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי, שכן השדה האלקטרומגנטי מאלץ את האטום בהתאם לתדירותו. נסמן את קבוע הפרופורציה "${\displaystyle B_{ul}}$", וכך, כאשר ${\displaystyle \ R_{st}}$ קצב הפליטה המאולצת, משוואת הקצב היא

${\displaystyle \ R_{st}=B_{ul}N_{u}\rho (\nu )}$.

קצב הבליעה פרופורציוני לכמות האטומים שברמה הנמוכה וכן תלוי בצפיפות האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי, נסמן את קבוע הפרופורציה "${\displaystyle B_{lu}}$", וכך, כאשר ${\displaystyle \ R_{abs}}$ קצב הבליעה, משוואת הקצב היא

${\displaystyle \ R_{abs}=B_{lu}N_{l}\rho (\nu )}$.

אם המערכת נמצאת בשיווי משקל תרמודינמי, אזי כמות סך הבליעה והפליטה של האטומים משתוות ולכן

${\displaystyle \ R_{abs}=R_{sp}+R_{st}}$

או, מפורשות

${\displaystyle B_{lu}N_{l}\rho (\nu )=A_{ul}N_{u}+B_{ul}N_{u}\rho (\nu )}$.

פתרון עבור ${\displaystyle \rho (\nu )}$ כנעלם הוא

${\displaystyle \rho (\nu )={\frac {A_{ul}}{B_{lu}({N_{l} \over N_{u}})-B_{ul}}}}$.

ומצד שני, לפי חוק פלאנק מתקיים

${\displaystyle \rho (\nu )={\frac {\hbar \omega ^{3}}{c^{3}(e^{\hbar \omega /kT}-1)}}}$.

בהינתן שלפי התפלגות בולצמן מתקיים ${\displaystyle {\frac {N_{u}}{N_{l}}}={\frac {g_{u}}{g_{l}}}e^{-\hbar \omega /kT}}$, באשר ${\displaystyle \ g_{i}}$ הוא הניוון של הרמה ה-${\displaystyle \ i}$, לאחר פישוטים מתמטיים מתקבל

${\displaystyle {\frac {\hbar \omega ^{3}}{c^{3}(e^{\hbar \omega /kT}-1)}}={\frac {{\frac {A_{ul}}{B_{lu}}}{\frac {g_{u}}{g_{l}}}}{e^{\hbar \omega /kT}-{\frac {B_{ul}}{B_{lu}}}{\frac {g_{u}}{g_{l}}}}}}$.

ולכן, על סמך השוואת מקדמים, מתקבלים יחסי איינשטיין:

${\displaystyle {\frac {A_{ul}}{B_{lu}}}{\frac {g_{u}}{g_{l}}}={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$

וכן

${\displaystyle {\frac {B_{ul}}{B_{lu}}}{\frac {g_{u}}{g_{l}}}=1}$.

שימושים

משוואות איינשטיין משמשות, למשל, לתיאור מתמטי של מגבר אופטי. בעזרת יחסי איינשטיין ניתן לפתח את חוק בר-למברט וכן משוואות נוספות הנוגעות למעבר אור בחומר, למשל משוואות המתארות רוויה של לייזר. עבור חומר שזמן החיים שלו ברמה העליונה הוא ${\displaystyle \ \tau }$, נפלטים ${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}}$ פוטונים ביחידת זמן, ולכן מקדם איינשטיין לפליטה ספונטנית הוא ${\displaystyle A_{ul}={\frac {1}{\tau }}}$. במקרים מסוימים קל יותר למדוד את מקדמי איינשטיין האחרים, למשל – את מקדם הפליטה המאולצת של חומר שהוא בסיס ללייזר, וכך, בעזרת יחסי איינשטיין, למצוא את זמן החיים של החומר ברמה העליונה. עם זמן החיים ניתן לחשב, למשל, את רוחבה של ההרחבה הטבעית של החומר.

מקורות

Mark Csele, Fundamentals of Light Sources and Lasers, Wiley-Interscience, 2004