מטוטלת קפיצה

מטוטלת קפיצה היא מטוטלת קשיחה שבה נקודת הציר רוטטת בכיוון אנכי, למעלה ולמטה. היא נקרא על שמו של הפיזיקאי הרוסי חתן פרס נובל פיוטר קפיצה, אשר בשנת 1951 פיתח תיאוריה שמסבירה בהצלחה כמה מתכונותיה יוצאות הדופן.^[1] התכונה הייחודית של המטוטלת קפיצה היא שהמתלה הרוטט יכול לגרום לה להתאזן בצורה יציבה במצב הפוך מהמצב שהיינו מצפים במטוטלת הרגילה עם מתלה קבוע, מיקום שיווי המשקל היציב היחיד הוא מתחת לנקודת המינימום; המיקום ההפוך הוא נקודה של שיווי משקל לא יציב, וההפרעה הקטנה ביותר מזיזה את המטוטלת משיווי משקל.

ציור המראה כיצד ניתן לבנות מטוטלת קפיצה: מנוע מסובב מוט במהירות גבוהה, מה שמרטיט זרוע מנוף למעלה ולמטה, אליה מחוברת המטוטלת באמצעות ציר.

במטוטלת קפיצה המצב מתהפך – מיקום שיווי המשקל הוא דווקא למעלה והנקודה הלא יציבה היא למטה, תופעה שאיננה אינטואיטיבית במבט ראשון.

סימונים ופיתוח פיזיקלי

איור מטוטלת קפיצה

הציר האנכי ${\displaystyle y}$ והציר האופקי ${\displaystyle x}$ כך שתנועת המטוטלת מתרחשת במישור (${\displaystyle x}$ - ${\displaystyle y}$).

• ${\displaystyle \nu }$ – תדירות התנודות האנכיות של המתלה,
• ${\displaystyle a}$ – משרעת של תנודות המתלה,
• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}}$ – תדירות נכונה של המטוטלת המתמטית,
• ${\displaystyle g}$ – האצת נפילה חופשית,
• ${\displaystyle l}$ – אורך של מטוטלת קשיחה וקלה,
• ${\displaystyle m}$ – מסה.

משוואות המיקום של המסה במישור התנועה:

${\displaystyle {\begin{cases}x&=l\sin \varphi \\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t\end{cases}}}$

אנרגיה

האנרגיה הפוטנציאלית של המטוטלת נובעת מכוח הכבידה והיא מוגדרת במונחים של המיקום האנכי על ידי:

${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).\,}$

האנרגיה הקינטית מחושבת על ידי הרכיב הסטנדרטי של ${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2}$, המתאר את המהירות של מטוטלת מתמטית, אליה מתווספת תרומת הרעידות:

${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t)\sin(\varphi )~{\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t)\;.}$

האנרגיה הכוללת ניתנת על ידי סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות ${\displaystyle E=E_{\mathrm {KIN} }+E_{\mathrm {POT} }}$ והלגראנז'יאן לפי ההבדל ביניהם ${\displaystyle L=E_{\mathrm {KIN} }-E_{\mathrm {POT} }}$.

במקרה של מתלה רועד המערכת כבר אינה סגורה והאנרגיה הכוללת אינה נשמרת עוד כפי שמתקיים במטוטלת מתמטית רגילה. האנרגיה הקינטית רגישה יותר לרעידות בהשוואה לזו הפוטנציאלית. האנרגיה הפוטנציאלית ${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }=mgy}$ קשור מלמטה ולמעלה ${\displaystyle -mg(l+a)<E_{\mathrm {POT} }<mg(l+a)}$ בעוד האנרגיה הקינטית קשורה רק מלמטה ${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }\geq 0}$. לתדירות גבוהה של רעידות ${\displaystyle \nu }$ האנרגיה הקינטית יכולה להיות גדולה בהשוואה לאנרגיה הפוטנציאלית.

משוואות התנועה

נקבל את תנועת המטוטלת בעזרת משוואת אוילר-לגראנז'.

התלות של ${\displaystyle \varphi }$ המטוטלת על מיקומה מקיים את המשוואה:^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }},}$

כשהלגראנג'יאן מסומן בתור ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle L={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+ml(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t)\cos \varphi ,}$

ממשוואות אוילר לגראנג' אפשר לקבל את משוואת התנועה הבאה לזווית:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}},}$

שימושים באפקט

בעבר ברוסיה פיתחו טיל חדש מסוג 9K בדגם ישן. הטיל רעד במהלך המראתו, בדומה למטוטלת קפיצה, מה שגרם לנקודת שיווי המשקל של מד הדלק להיות בדיוק בכיוון המנוגד לכיוון הכבידה. צג הדלק הציג כי הדלק בטיל נגמר עוד לפני שהטיל המריא. התופעה הפתיעה את המפתחים אשר לא הבינו כיצד הדבר ייתכן היות שתא הדלק היה מלא לחלוטין.

קישורים חיצוניים

• סרטון הדגמה במטוטלת קפיצה, באתר יוטיוב
• הדגמה אינטראקטיבית, באתר Wolfram Demonstrations Project

הערות שוליים

1. Kapitza P. L. (1951). "Dynamic stability of a pendulum when its point of suspension vibrates". Soviet Phys. JETP. 21: 588–597.; Kapitza P. L. (1951). "Pendulum with a vibrating suspension". Usp. Fiz. Nauk. 44: 7–15. doi:10.3367/UFNr.0044.195105b.0007.
2. V. P. Krainov (2002). Selected Mathematical Methods in Theoretical Physics (1st ed.). Taylor & Francis. ISBN 978-0-415-27234-6.