מונוטוניות (פונקציית בחירה חברתית)

בתורת המשחקים, מונוטוניות היא תכונה שניתן לדרוש מפונקציית בחירה חברתית. התכונה אומרת שאם מועמד א' נבחר, ובבחירות הבאות מצבו לא הורע אצל אף בוחר, הוא ייבחר מחדש. דרישה זו נראית לכאורה תמימה והגיונית, אך משפט מולר סטרסוויט מראה שעבור יותר משני מועמדים, אין שיטת בחירות יעילה פארטו שמקיימת אותה, מלבד דיקטטורה^[1].

הגדרה פורמלית

פונקציית בחירה חברתית G, על קבוצת מועמדים A וקבוצת בוחרים N, נקראת מונוטונית,
אם לכל ${\displaystyle a\in A}$, ולכל שני וקטורי-העדפות P, Q,
שמקיימים לכל ${\displaystyle b\in A,b\neq a}$
: ${\displaystyle \forall i\in N,(a\succ _{P_{i}}b)\rightarrow (a\succ _{Q_{i}}b)}$,^[2]
מתקיים ${\displaystyle (a\succeq _{G(P)}b)\rightarrow (a\succeq _{G(Q)}b)}$.

דוגמאות

• דיקטטורה היא מונוטונית, מכיוון שאם מועמד נבחר, זה אומר שהוא היה העדיפות הראשונה של הדיקטטור. אם מצבו לא הורע הוא נשאר מקום ראשון, ולכן שוב נבחר.
• עבור ${\displaystyle \left|A\right|=2}$ כאשר A היא קבוצת המועמדים, פונקציית הבחירה המונוטונית היחידה שהיא אנונימית בין המצביעים ונייטרלית בין המועמדים היא ללכת על פי הרוב, לפי משפט מאי^[3].
• עבור ${\displaystyle \left|A\right|\geq 3}$, שיטת בורדה^[4]

מקיימת את תכונת הפה-אחד, אך לא מקיימת את תכונת המונוטוניות, למשל עבור וקטורי-ההעדפות הבאים:

בוחר	מקום ראשון	מקום שני	מקום שלישי
אברהם	a	b	c
יצחק	b	c	a

נבחר b

בוחר	מקום ראשון	מקום שני	מקום שלישי
אברהם	a	b	c
יצחק	b	a	c

נבחר a.

מצבו של b לא הורע, אבל a נבחר (כי האינדקס שלו קטן מזה של b).

• הדוגמה הקודמת היא מקרה פרטי של משפט מולר סטרסוויט, שאומר שכל פונקציית בחירה חברתית, שמקיימת את תכונת הפה אחד ואת תכונת המונוטוניות, היא דיקטטורה.

ראו גם

• אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946

הערות שוליים

1. Coalitional Structure of the Muller-Satterthwaite Theorem
2. הסימון ${\displaystyle a\succ b}$ אומר "a עדיף על b", הסימון ${\displaystyle a\succeq b}$ אומר "a עדיף על b, או שאף אחד מהם לא עדיף על השני"
3. May’s Theorem with an Infinite Population, introduction
4. כל בוחר נותן לכל מועמד נקודות, באופן הפוך למיקום היחסי שלו: למשל עבור שלושה מועמדים, מקום ראשון מקבל 2 נקודות, מקום שני נקודה אחת ומקום שלישי 0 נקודות. נבחר המועמד עם הניקוד הגבוה ביותר. הניקוד הכללי של כל מועמד נקבע לפי סכום הנקודות שקיבל.
   מכיוון שצריך לבחור כאן רק מועמד אחד, במקרה של שוויון נבחר למשל את המועמד עם האינדקס המינימלי (למשל אפשר לסמן: האינדקס של a הוא 1, של b הוא 2 ושל c הוא 3).