טרנספורמציית גליליי

טרנספורמציית גליליי היא העתקה ליניארית בין מערכות ייחוס המראה כיצד משתנים הזמן והמרחב כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת למערכת ייחוס אחרת הנעה יחסית אליה במהירות קבועה בקו ישר. טרנספורמציית גליליי נכונה בקירוב טוב מאוד כל עוד המהירויות קטנות באופן משמעותי ממהירות האור. כאשר אין זה המצב, תהיה השפעה לא זניחה של תורת היחסות ונאלץ להשתמש בטרנספורמציית לורנץ כדי לקבל שוב תשובה נכונה בקירוב טוב.

תצורה סטנדרטית של מערכות קואורדינטות עבור טרנספורמציות גליליי

גלילאו גליליי ניסח את ההעתקה כאשר תיאר תנועה במהירות קבועה בעת ניסויו בכדור הנופל במורד מסילות. ניסויים אלו איפשרו לגלילאו להשיג ערך מספרי ל־${\displaystyle g}$ – תאוצת הכובד ליד פני כדור הארץ (וייתכן שאף היוו מקור למיתוס השלכת הכדורים ממגדל פיזה).

דוגמה

נניח שנוסע עומד על הרציף ומביט ברכבת שעוברת ליד הרציף במהירות קבועה של 10 קמ"ש, ובתוך אחד הקרונות עומד ילד ומשחק בכדור. הילד זורק את הכדור קדימה, כך שביחס לילד הכדור נע אופקית בלבד במהירות של 1 קמ"ש. נאמר כי במערכת הייחוס של הילד, כלומר ביחס לרכבת הנוסעת, לכדור יש מהירות של 1 קמ"ש.

בעזרת טרנספורמציית גליליי ניתן לעבור למערכת הייחוס של הנוסע שעומד על הרציף. הנוסע מביט בכדור, המתקדם במהירות של 1 קמ"ש ביחס לרכבת, והרכבת מתקדמת ביחס לרציף במהירות של 10 קמ"ש. בסך הכל, הנוסע יראה את הכדור מתקדם אופקית במהירות של 1+10=11 קמ"ש. נאמר שבמערכת הייחוס של הנוסע, ביחס לרציף, לכדור יש מהירות של 11 קמ"ש.

לו הילד היה זורק את הכדור אחורה, כך שביחס לילד היה הכדור נע במהירות שלילית (קרי אחורה) – 1- קמ"ש, אז ביחס לנוסע שעומד על הרציף הכדור מתקדם ביחס לרציף במהירות של 10-1=9 קמ"ש קדימה.

תיאור מתמטי של ההעתקה

ההעתקה מתארת שתי מערכות שאחת מהן נעה במהירות ${\displaystyle v}$ ביחס לשנייה, כאשר השינוי במהירות מוגבל לציר ${\displaystyle x}$. החישוב מתבצע בצורה הבאה:

• ${\displaystyle \ t'=t}$
• ${\displaystyle \ x'=x-vt}$
• ${\displaystyle \ y'=y\,\ z'=z}$

המשמעויות הפיזיקליות של ההעתקה

הנחות פיזיקליות

המכניקה הקלאסית, הניוטונית, נוסחה בהתאם לטרנספורמציית גליליי, ההנחות הפיזיקליות שמאחורי ההעתקה הן:

• קצב מעבר הזמן זהה בכל המערכות.
• אין מגבלת מהירות ואין מהירויות מוחלטות.
• ההשפעה של מערכת מסוימת על אחרת (כל המערכות האחרות) היא מיידית.
• שינוי מיקום של גוף במערכת מסוימת (מהירותו) ביחס לצופה במערכת אחרת תלוי רק במהירות היחסית ביניהם.

הטענה של תורת היחסות וטרנספורמציות לורנץ הייתה כי הנחות אלו שגויות.

השלכות לחוקי הפיזיקה

בהתאם לטרנספורמציית גליליי המומחשת בניסוי הספינה שלו, ניתן לראות כי כל הגדלים הנפוצים במכניקה הקלאסית נשמרים בקשר ליניארי בין מערכות ייחוס אינרציאליות. הגדלים הנפוצים ביותר המתנהגים אותו דבר בכל מערכת הם ההעתק ונגזרותיו (מהירות, תאוצה), הכוחות, התנע הקווי והזוויתי, והאנרגיה הקינטית.

בניתוח מתמטי:

במערכת אינרצאלית ${\displaystyle S'}$ הנעה במהירות קבועה ${\displaystyle {\vec {v}}_{S'}}$ ביחס למערכת המעבדה ${\displaystyle S}$ נקבל את הערך הבא המסמל את המיקום של נקודה מסוימת ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ביחס למערכת ${\displaystyle S'}$:

${\displaystyle {\vec {r}}'={\vec {r}}-t{\vec {v}}_{S'}}$

באמצעות גזירה לפי הזמן יתקבלו ערכי המהירות והתאוצה:

${\displaystyle {\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {v}}_{S'},\ \ {\vec {a}}'={\vec {a}}}$

מכיוון שהתאוצות שוות בין המערכות, גם הכוח השקול שווה בין המערכות, דבר המבטיח ששלושת חוקי ניוטון מתקיימים. כמו כן משום שהתווסף למהירות רק וקטור קבוע, חוקי השימור של התנע והאנרגיה, התלויים במהירות, מתקיימים בכל המערכות.

כל זה נכון רק במערכת אינרציאלית שאינה מאיצה. עבור מערכת לא אינרציאלית המאיצה בקו ישר:

${\displaystyle \Sigma {\vec {F}}-m{\vec {a}}'=m{\vec {a}}}$

לכן נצטרך להוסיף כוח מדומה ${\displaystyle F_{d}=m{\vec {a}}_{S'}}$ כדי שחוקי ניוטון יהיו נכונים.

וכן למערכת לא אינרציאלית מסתובבת, שבה לכל וקטור ${\displaystyle \ {\vec {B}}}$ מתקיים השוויון:

${\displaystyle \left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{S}=\left({\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\right)_{S'}+{\vec {\omega }}\times {\vec {B}}}$

ובפרט התאוצה המתקבלת מהנגזרת השנייה של המיקום נהפכת לביטוי מורכב, וצריך להוסיף שני כוחות מדומים בשביל שחוקי ניוטון יעבדו^[1].

ראו גם

• תיאור לגראנז'י ואוילרי של שדה זרימה
• חבורת פואנקרה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טרנספורמציית גליליי בוויקישיתוף

• טרנספורמציית גליליי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

1. פירוט הניתוח המתמטי של מצב זה נמצא בערך כוח קוריוליס