פונקציה חד-חד-ערכית ועל

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) מקבוצה X לקבוצה Y היא פונקציה המתאימה לכל איבר של X איבר אחד ויחיד של Y, כך שכל איבר ב Y מותאם לאיבר ב X. פונקציה חח"ע (חד חד ערכית) ועל נקראת "פונקציה הפיכה" וגם זיווג.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באופן פורמלי: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל ${\displaystyle b\in Y}$ קיים ${\displaystyle a\in X}$ יחיד כך ש ${\displaystyle f(a)=b}$. בתנאי זה, קיומו של ${\displaystyle a}$ מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים ${\displaystyle a,a'}$ שונים שעבורם ${\displaystyle f(a)=f(a')}$ ,) מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

• מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
• פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.

גרף פונקציה ${\displaystyle y=x^{2}}$ בתחום ${\displaystyle [-2,2]}$

• הפונקציה ${\displaystyle y=x^{2}}$ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום ${\displaystyle f:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$, משום שכל ערך של y בקטע הממשי ${\displaystyle [0,\infty )}$ מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום ${\displaystyle f:(-\infty ,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$ משום שכל ערך של y בקטע הממשי ${\displaystyle (0,\infty )}$ מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא ${\displaystyle f(2)}$ וגם ${\displaystyle f(-2)}$).
• הפונקציה ${\displaystyle y=x^{3}}$ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום ${\displaystyle f:[-1,1]\rightarrow [-1,1]}$, משום שכל ערך של y בקטע הממשי ${\displaystyle [-1,1]}$ מתקבל בדיוק פעם אחת.

דיאגרמות להמחשה

• 
  פונקציה חד-חד-ערכית ועל
• 
  פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על
• 
  פונקציה על שאינה חד-חד-ערכית
• 
  פונקציה שאינה חד-חד-ערכית ואינה על
• 
  מיפוי שאינו פונקציה כי חסר יעד ייחודי לאחד המקורות

תכונות ושימושים

• אם קיימת פונקציה כזו בין ${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$, הקבוצות ${\displaystyle X}$ ו-${\displaystyle Y}$ נקראות "שקולות" והן בעלות אותה העוצמה.
• פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן היא מגדירה יחס שקילות בין קבוצות על פי עוצמתן ובפרט יחס סימטרי.
• אם על הקבוצות ${\displaystyle X,Y}$ מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
• אוסף התמורות על קבוצה ${\displaystyle X}$ הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים.
• פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)
• פונקציה הפיכה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בוויקישיתוף

• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.