העתקה פרויקטיבית

העתקה פרויקטיבית היא העתקה במרחב פרויקטיבי שהיא הרכבה של מספר הטלות פרספקטיביות.

אינטואיציה גאומטרית

העתקה פרויקטיבית

נגדיר הטלה פרספקטיבית (perspectivity) כהעתקה בין שני ישרים, באמצעות נקודה. בציור שמשמאל, מתוארת הטלה המעבירה את ${\displaystyle \ P_{1}}$ ל-${\displaystyle \ P_{2}}$, ואת ${\displaystyle \ Q_{1}}$ ל-${\displaystyle \ Q_{2}}$, באמצעות הנקודה ${\displaystyle \ O}$.

העתקה פרויקטיבית בין ישרים היא הרכבה של הטלות כנ"ל. בציור שמשמאל, ההעתקה המעבירה את ${\displaystyle \ P_{1}}$ ל-${\displaystyle \ P_{3}}$, ואת ${\displaystyle \ Q_{1}}$ ל-${\displaystyle \ Q_{3}}$, היא העתקה פרויקטיבית.

עבור מישורים, כל העתקה המעבירה מישור למישור באמצעות נקודת הטלה היא העתקה פרויקטיבית. דוגמאות להעתקות פרויקטיביות בין מישורים מתוארות ברישומים שלהלן. הגדרה שקולה להעתקות פרויקטיביות בין מישורים היא: "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים המעתיקה ישרים לישרים". או בניסוח אחר, "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים ${\displaystyle \ f:\pi \ \rightarrow \ H}$, שהצמצום שלה על ישר ${\displaystyle \ l\in \ \pi \ }$ הוא העתקה פרויקטיבית ${\displaystyle \ f|_{l}:l\rightarrow \ l_{2}}$ בין הישרים ${\displaystyle \ l}$ ו-${\displaystyle \ l_{2}}$".

הגדרה אלגברית

נתן לבנות מרחב פרויקטיבי ממשי על ידי קואורדינטות הומוגניות, על ידי מערכת הצירים של המרחב האוקלידי וחלוקה בקואורדינטה האחרונה. כלומר, המרחב הפרויקטיבי הממשי מתקבל מהמרחב האוקלידי תחת יחס שקילות של כפל בקבוע. כך, כל הנקודות בישר ${\displaystyle \ \{(tx,ty,tz)|t\in \mathbb {R} \}}$ תיוצגנה על ידי הנקודה ${\displaystyle \ \{({x \over z},{y \over z},1)\}}$.

בהינתן מרחב ${\displaystyle \ V:=F^{n}}$, נבחר העתקה ליניארית רגולרית כלשהי ${\displaystyle \ T:V\rightarrow \ V}$. העתקה זו מעבירה בין ישרים ב-V. לפיכך, היא משרה העתקה (לא בהכרח ליניארית) על המרחב הפרויקטיבי ${\displaystyle \ P_{F}(n)}$ המוגדר מ-${\displaystyle \ V}$ על ידי יחס השקילות הנ"ל. מכיוון ש-T מעבירה בין תת-מרחבים של ${\displaystyle \ F^{n}}$, הרי שהיא מעבירה גם בין תת-מרחבים של ${\displaystyle \ P_{F}(n)}$ (למשל, בין ישרים).

השימוש בקואורדינטות הומוגניות מאפשר יצוג אלגברי פשוט של ההעתקות הפרויקטיביות. למשל, העתקה ליניארית במישור האוקלידי מעבירה ${\displaystyle \ (x,y)\rightarrow \ (ax+by,cx+dy)}$. החלת יחס השקילות על המישור האוקלידי מניבה את הישר הפרויקטיבי. ההעתקות הליניאריות תעבורנה להעתקות ${\displaystyle \ (x,1)\rightarrow \ {({{ax+b} \over \ {cx+d}},1)}}$, שהן העתקות מביוס. כל העתקה פרויקטיבית כזו היא למעשה העתקה ליניארית על המישור האוקלידי. לכן נתן לייצג את ההעתקות הפרויקטיביות על ידי מטריצות מסדר 2x2, כשכפל המטריצות מייצג הרכבת העתקות.

מתוך כך נתן לראות שההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי מהוות חבורה, שהיא תת-חבורה של חבורת המטריצות מסדר 2x2. כדי לזהות את חבורת ההעתקות הפרויקטיביות יש לשים לב לשני אפיונים. האחד - מטריצה כנ"ל מייצגת העתקה פרויקטיבית אמ"ם המטריצה הפיכה. השני - שתי מטריצות שונות מייצגות אותה ההעתקה הפרויקטיבית אמ"ם האחת היא כפל של השנייה בקבוע. מתוך אפיונים אלו נתן לזהות את חבורה ההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי הממשי כ-${\displaystyle \ {GL}_{2}{(R)}}$ תחת יחס השקילות של כפל בקבוע (${\displaystyle \ {GL}_{2}{(R)}}$ היא חבורת המטריצות ההפיכות מסדר 2x2).

נתנו שתי הגדרות שונות להעתקות פרויקטיביות. האחת מתוך אינטואיציה גאומטרית והשנייה אלגברית. הוכחת הזהות בין שתי ההגדרות הנ"ל של ההעתקות הפרויקטיביות אינה טריויאלית. דרך אפשרית היא לבחור את האיברים היוצרים את החבורות (בהגדרה הגאומטרית או בהגדרה האלגברית), ולבטא אותם ישירות על ידי העתקות מההגדרה השנייה. את הכוון השני מקבלים משיקולים של מספר דרגות החופש.

מקומה של ההעתקה הפרויקטיבית בהיררכיית ההעתקות במישור

משפחות העתקות במישור

שם המשפחה	מס' דרגות חפש	שמורות	יצוג מטריציוני בקואורדינטות הומוגניות	המחשת ההעתקה על ריבוע במישור
אוקלידיות	3	אורך, זווית, שטח	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta \ &-\sin \theta \ &t_{x}\\\sin \theta \ &\cos \theta \ &t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}}}$
דמיון	4	זווית, יחס בין אורכים, יחס בין שטחים	${\displaystyle {\begin{pmatrix}K\cos \theta \ &-K\sin \theta \ &t_{x}\\K\sin \theta \ &K\cos \theta \ &t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}}}$
אפיניות	6	מַקְבִּילִיוּת, יחס שטחים	${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&t_{x}\\c&d&t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}}}$
פרויקטיביות	8	יחס כפול	${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$, עד כדי כפל בקבוע.

ניתן לסדר את ההעתקות הפועלות על ריבוע במישור לפי מספר דרגות החופש שלהן.

בהינתן מערכת צירים כלשהי, העתקה בעלת דרגת חופש יחידה יכולה להיות, למשל, הזזה של נקודה בכיוון מסוים. העתקה כזו נתונה לפי ${\displaystyle \ f(x,y)=(x,y)+t(x_{0},y_{0})}$, עבור וקטור כיוון ${\displaystyle \ (x_{0},y_{0})}$ קבוע, ופרמטר ${\displaystyle \ t}$.

העתקה אחרת תהא סיבוב הנקודה בזווית ${\displaystyle \ \theta \ }$ כלשהי עם כוון השעון. העתקה כזו נתונה לפי ${\displaystyle \ f(x,y)=(x\cdot \cos \theta \ -y\cdot \sin \theta ,x\cdot \sin \theta \ +y\cdot \cos \theta \ )}$ .

שתי ההעתקות האלה משמרות בין היתר אורכים (של קטעים), שטחים זוויות בין קטעים.

החבורה הנוצרת על ידי שתי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 3 דרגות חופש (מקדמי ההזזה בכל אחד מהצירים וזווית הסבוב). ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות אוקלידיות או איזומטריות.

יש המוסיפים להעתקות האוקלידיות גם שיקוף סביב ציר מסוים, אך לא מוסיפים דרגות חופש מכיוון שאיבר זה מגדיל את החבורה רק פי 2.

העתקה אחרת בעלת דרגת חופש יחידה היא סילום (scaling) של נקודה ביחס לראשית הצירים. העתקה כזו נתונה לפי ${\displaystyle \ f(x,y)=(kx,ky)}$, עבור פרמטר ${\displaystyle \ k}$.

החבורה של כל צירופי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 4 דרגות חופש (דרגת חופש נוספת עבור מקדם הסילום). העתקות אלו אינן משמרות אורכי קטעים ושטחים אולם עודן משמרות זוויות, יחסי אורכים ויחסי שטחים. ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות דמיון (העתקות סילום), והן נחשבות כהעתקות הכלליות ביותר המשמרות "צורה" של מצולע.

הוספת שתי דרגות חופש תוביל אל המשפחה הבאה בהיררכיה.

דרגת חופש ראשונה תווסף על ידי הכפלת כל אחד מהצירים במקדם שונה ${\displaystyle \ f(x,y)=(ax,by)}$. בין היתר נתן לקבל מהעתקה זו שיקוף סביב אחד הצירים, למשל על ידי ${\displaystyle \ f(x,y)=(-x,y)}$.

דרגת חופש שנייה היא על ידי פעולה הגזירה (shear), ומשמעה הוספת גורמים מהקואורדינטה האחת לקואורדינטה האחרת ${\displaystyle \ f(x,y)=(x+ay,y)}$. הרכבה של סיבוב ב-90 מעלות ושל שיקוף תניב העתקה המחליפה בין הקואורדינטות ${\displaystyle \ f(x,y)=(y,x)}$. לכן, הרחבת חבורת העתקות הדמיון בשתי דרגות החופש הנ"ל, תאפשר גם העתקה מהסוג ${\displaystyle \ f(x,y)=(x,y+ax)}$.

כך מתקבלת חבורת ההעתקות האפיניות. ההעתקות בחבורה זו משמרות מקביליות של ישרים (מעתיקות ריבוע למקבילית) ויחס בין שטחים. העתקה ליניארית היא מקרה פרטי של העתקה אפינית, ובה כאשר מקדמי ההזזה מאופסים. לכן, יצוג מטריציוני של העתקה אפינית בקואורדינטות הומוגניות מכיל מטריצה מסדר 2x2 ווקטור הזזה. בדומה להעתקות ליניאריות, שטח המקבילית המתקבלת מהעתקה אפינית על ריבוע שוה לשטח הריבוע המוכפל בדטרמיננטה של המטריצה.

חבורת ההעתקות הפרויקטיביות היא בעלת שמונה דרגות חופש (כל המטריצות מסדר 3x3 עד כדי קבוע). היא אינה משמרת זוויות ואף לא יחס בין אורכים. היא מעתיקה ישרים לישרים ונקודות לנקודות, ומשמרת חילה של ישרים בנקודות. גודל נוסף הנשמר על ידי ההעתקה הוא יחס כפול, שהוא למעשה יחס בין יחסים של אורכים.

• כל הגדלים הנשמרים על ידי העתקה מסוימת נשמרים גם על ידי כל ההעתקות במשפחות הפשוטות ממנה המופיעות בטבלה.

• ההיררכיה זהה נתן ליצור גם עבור ההעתקות במרחב.