Remove ads
העתקה משמרת באלגברה מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה, הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים אלגבריים מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם מתרגם תכונות מסוימות של המבנה הראשון אל המבנה השני. הומומורפיזם הפיך נקרא איזומורפיזם.
נניח כי הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. התמונה היא אוסף האיברים של המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי . בקטגוריות רבות הנפוצות באלגברה, אוסף האיברים של המועתקים אל איבר האפס (איבר היחידה במקרה של חבורה) של נקרא הגרעין של ההומומורפיזם ומסומן . בחבורות, לדוגמה, התמונה היא תת-חבורה של , ואילו הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של . קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה (חבורת מנה, חוג מנה, מודול מנה), ואז מתקיים משפט האיזומורפיזם הראשון: .
לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של תורת הקטגוריות, ואין הן קיימות בכל קטגוריה.
באופן כללי יותר, לכל הומומורפיזם של מבנים אלגבריים ניתן להתאים קונגרואנציה (יחס שקילות שהוא תת-מודל של המכפלה הישרה ), וקבוצת המנה המצוידת באותו מבנה אלגברי, איזומורפית לתמונה. הגדרה זו הכרחית למשל בהקשר של מונואידים או חבורות למחצה.
בקטגוריות של חבורות, חבורות למחצה, מונואידים, חוגים, מודולים, מרחבים וקטוריים:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.