Loading AI tools
מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, ספרטריקס או מַפריד[1] הוא כינויו של הגבול המפריד (Separate; ומכאן שמו) בין אזורים של המישור שבהם משוואה דיפרנציאלית בשני משתנים מפגינה התנהגויות שונות. הספרטריקס מפריד בין עקומות פאזה בעלות מאפיינים שונים.
אם היא משוואה דיפרנציאלית במשתנים תלויי-הזמן , אז התנועה שהמשוואה מגדירה בכל נקודה במישור תלויה במקדמים הראשונים של פיתוח טיילור של ושל . באופן סכימתי אפשר להבחין בין מסלולים "אליפטיים" (סגורים), "היפרבוליים" (פתוחים, המתרחקים במהירות גדלה), ו"פרבוליים" (מצב ביניים). הספרטריקס הוא העקום המישורי המפריד בין ההתנהגות האליפטית להתנהגות ההיפרבולית.
אחד מהמקרים הפשוטים בהם ניתן להבחין בקיומו של ספרטריקס הוא פתרון משוואת המטוטלת הפשוטה:
כאשר מציין את אורך המטוטלת, את תאוצת הכבידה ו- את הזווית בין המטוטלת לבין האנך. במערכת זו, ההמילטוניאן הוא גודל שמור וגודלו נתון על ידי
משוואה זאת מתארת את התנועה של מטוטלת: כלומר של משקולת התלויה על חוט. למטוטלת כזאת ישנם שני סוגי תנועה: כאשר אין למטוטלת אנרגיה קינטית מספיק גבוהה אזי המטוטלת תבצע תנודות סביב נקודת המינימום שלה. לעומת זאת אם נדחוף את המטוטלת בכח גדול מספיק אזי היא תבצע סיבובים סביב המסמר.
כאשר ההמילטוניאן קבוע, ניתן לשרטט את הפתרון במרחב הפאזה, כלומר לבדוק את התלות בין המהירות הזוויתית של המטוטלת לבין הזווית . אופי המסלול (שהוא הפתרון של המשוואה) תלוי בגודלו של ההמילטוניאן:
במערכת זו, אם כן, הספרטריקס מתאים למצב בו . הוא מפריד בין שני אזורים שונים במרחב הפאזה.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.