מספר מחומש

בתורת המספרים, מספר טבעי p הוא מספר מחומש אם אפשר לסדר p עצמים בצורת סדרה של מחומשים משוכללים בעלי קודקוד משותף. זהו מספר מצולע מסדר 5, בדומה למספר משולשי (סדר 3) ומספר ריבועי (סדר 4).

ששת המספרים המחומשים הראשונים (המספר המחומש הוא מספר הנקודות הכחולות)

לפי הנוסחה הכללית למספר מצולע, המספר המחומש ה-n הוא:

${\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}}$

20 המספרים המחומשים הראשונים הם: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590 (סדרה A000326 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).

אם מתירים גם n שאינם חיוביים מקבלים את סדרת המספרים המחומשים המוכללים.

20 המספרים המחומשים המוכללים הראשונים הם: 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145 (סדרה A001318 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).

לפי משפט המספרים המצולעים כל מספר טבעי הוא סכום של חמישה מספרים מחומשים (כולל 0). יש רק שישה מספרים טבעיים שאינם סכום של ארבעה מספרים מחומשים: 9, 21, 31, 43, 55, ו-89 (סדרה A133929 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים). משערים שיש רק 210 מספרים טבעיים שאינם סכום של שלושה מספרים מחומשים

חשיבותם של מספרים מחומשים נובעת ממשפט המספרים המחומשים שהוכיח לאונרד אוילר:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left(1-x^{k}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{n}x^{p_{n}}}$

מהמשפט נובע הקשר של מספרים אלו לפונקציית החלוקה:

${\displaystyle p(n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k-1}\cdot p(n-p_{k})}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מספר מחומש בוויקישיתוף

• מספר מחומש, באתר MathWorld (באנגלית)