כדור הוא גוף גאומטרי המורכב מן הנקודות במרחב שמרחקן מנקודה קבועה הוא לכל היותר מספר חיובי קבוע מסוים, הקרוי רדיוס . כאשר רדיוס הכדור הוא 1, הכדור נקרא כדור היחידה. פני השטח של הכדור הן ספירה . כדור הוא הכללה של עיגול למרחב מממד כלשהו. לעיתים קרובות המילה כדור משמשת לכדור במרחב התלת-ממדי .
ספירה – פני השטח של כדורכדור הכולל את שפתו (הספירה ) נקרא כדור סגור . כדור ללא שפתו נקרא כדור פתוח .
לערך העוסק בפנים של הספירה במרחב מטרי כלשהו, ראו כדור (טופולוגיה)
במרחב האוקלידי התלת-ממדי
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
וקטור
x
→
=
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}
נורמה הבאה:
‖
x
‖
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle \!\,\|x\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
ולכן מההגדרה של הכדור הסגור, נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור הסגור סביב המרכז
0
→
=
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\vec {0}}=(0,0,0)}
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
r
2
{\displaystyle \!\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}}
כאשר x,y,z הן הקואורדינטות במערכת צירים קרטזית של נקודה על פני הכדור, ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק
r
{\displaystyle r}
משוואת כדור סגור במערכת צירים קרטזית שמרכזו
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \!\,(x_{0},y_{0},z_{0})}
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
+
(
z
−
z
0
)
2
≤
r
2
{\displaystyle \!\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq r^{2}}
נפח של כדורים
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle x}
ניתן להכליל את הכדור לממד כללי n (כאשר n מספר שלם חיובי). n-כדור מסומן בדרך כלל כ-B n מרחב אוקלידי n-ממדי שנמצאות במרחק קטן מ-r מנקודה כלשהי במרחב (r, הרדיוס , הוא מספר ממשי חיובי כלשהו).
ניתן לתאר את כל הנקודות על הכדור הסגור על ידי שימוש בווקטור . הנקודה
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
.
.
.
+
x
n
2
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
≤
r
2
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leq r^{2}}
בפרט:
0 ממדים – כדור הוא נקודה .
1 ממדים – כדור הוא קטע בישר.
2 ממדים – כדור הוא עיגול במישור.
3 ממדים – כדור הוא הכדור התלת-ממדי.
4 ממדים – כדור הוא איחוד כל הכדורים על פני ממד רביעי
w
{\displaystyle w}
r
2
−
w
2
{\displaystyle {\sqrt {r^{2}-w^{2}}}}
w
∈
[
−
r
,
r
]
{\displaystyle w\in [-r,r]}
n
{\displaystyle n}
נפח הכדור, בצורה מפורשת, נתון על ידי:
V
n
(
r
)
=
π
n
/
2
Γ
(
n
2
+
1
)
r
n
=
{
(
2
π
)
n
/
2
r
n
2
⋅
4
⋯
n
,
if
n
is even
;
2
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
r
n
1
⋅
3
⋯
n
,
if
n
is odd
.
{\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}
כאשר
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ \Gamma (z)}
פונקציית גמא .
אפשר לקבל נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-כדור (ספירה ) על ידי חישוב הנגזרת של נפח הכדור ע"פ הרדיוס בנקודה
r
{\displaystyle r}
A
n
−
1
(
r
)
=
d
d
r
V
n
(
r
)
=
n
R
V
n
(
r
)
.
{\displaystyle A_{n-1}(r)={\frac {d}{dr}}V_{n}(r)={\frac {n}{R}}V_{n}(r).}
או בפירוש,
A
n
−
1
(
r
)
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
2
)
r
n
−
1
=
{
(
2
π
)
n
/
2
r
n
−
1
2
⋅
4
⋯
(
n
−
2
)
,
if
n
is even
;
2
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
r
n
−
1
1
⋅
3
⋯
(
n
−
2
)
,
if
n
is odd
.
{\displaystyle A_{n-1}(r)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}r^{n-1}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}
ניתן לחשב את הרדיוס של n-כדור בעל נפח נתון
V
{\displaystyle V}
r
n
(
V
)
=
Γ
(
n
2
+
1
)
1
/
n
π
V
1
/
n
{\displaystyle r_{n}(V)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}}
לפעמים נוח להשתמש בנוסחה מקורבת לחישוב הנפח של הכדור בממדים גבוהים. ניתן לקרב את הנוסחא לחשוב הנפח של n-כדור על ידי נוסחת סטירלינג , ולקבל
V
n
(
r
)
∼
1
n
π
(
2
π
e
n
)
n
/
2
r
n
{\displaystyle V_{n}(r)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\left({\frac {2\pi e}{n}}\right)^{n/2}r^{n}}
באופן דומה, ניתן לקבל נוסחה מקורבת לחשוב הרדיוס כפונקציה של הנפח .
r
n
(
V
)
∼
(
π
n
)
1
/
(
2
n
)
n
2
π
e
V
1
/
n
{\displaystyle r_{n}(V)\sim (\pi n)^{1/(2n)}{\sqrt {\frac {n}{2\pi e}}}V^{1/n}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
אפשר להסיק מהנוסחה המקורבת לנפח n-כדור שעבור רדיוס קבוע r, כאשר n שואף לאינסוף, הנפח של הכדור שואף לאפס.
עבור n-כדור, הנפח היחסי של קליפה בעובי קבוע שואף ל-1 כאשר n שואף לאינסוף. במילים אחרות, עבור n גדול, רוב הנפח של ה־n-כדור נמצא קרוב לשפה.
עבור n-כדור ברדיוס 1, אפשר לחשב את הקליפה בעובי
ε
{\displaystyle \varepsilon }
crust
n
=
V
n
(
1
)
−
V
n
(
1
−
ε
)
V
n
(
1
)
=
1
−
ε
n
{\displaystyle {\mbox{crust}}_{n}={\frac {V_{n}(1)-V_{n}(1-\varepsilon )}{V_{n}(1)}}=1-\varepsilon ^{n}}
אפשר לראות שעבור
ε
{\displaystyle \varepsilon }
קצב מעריכי ) ל-1.
![{\displaystyle w\in [-r,r]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032ecb053635061c01e26b92c9e9324bb61d4085)
