יריעה טופולוגית

יריעה טופולוגית היא מרחב טופולוגי שבאופן מקומי נראה כמו המרחב האוקלידי מממד n (אותו n מוגדר להיות ממד היריעה.)
במרחב כזה נשמרות התכונות המקומיות של המרחב האוקלידי כמו קומפקטיות מקומית, והשקילות בין קשירות וקשירות מסילתית, אבל לא נשמרות התכונות הכלליות - לדוגמה יריעה טופולוגית יכולה להיות לא קשירה, למרות שהמרחב האוקלידי קשיר.

ערך מחפש מקורות

הדמיון המקומי ל-${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$ לא מספיק חזק כדי להבטיח קיום של תכונות בסיסיות של המרחב הטופולוגי ולכן דורשים מהיריעה הטופולוגית להיות מרחב האוסדורף, שמקיים את האקסיומה השנייה של המנייה, בנוסף לדרישה הראשונה שלכל נקודה במרחב יש סביבה שהיא הומיאומורפית למרחב האוקלידי. מבחינה אינטואיטיבית, נראה שההומאומורפיזם המקומי למרחב האוקלידי צריך לחייב שהמרחב יהיה מרחב האוסדורף (כי המרחב האוקלידי הוא כזה, ותכונת האוסדורף היא מקומית), אבל למעשה אלו שתי תכונות בלתי תלויות כמו שניתן לראות מהדוגמאות הנגדיות.

במקרים רבים, נוח יותר לבנות אוסף של קבוצות פתוחות שמכסה את המרחב, כך שכל קבוצה בכיסוי הומיאומורפית לסביבה פתוחה של ראשית הצירים ב- ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$, (או של כל נקודה שרירותית אחרת) ובכך להראות שהמרחב הטופולוגי הוא יריעה טופולוגית, במקום לבדוק את התקיימות התכונה עבור כל נקודה. לפי הגישה הזו אפשר לחשוב על יריעה טופולוגית מממד n כמרחב טופולוגי שניתן לכסות אותו על ידי העתקים מעוותים של המרחב האוקלידי ה-n ממדי, או קבוצות פתוחות ממנו, כאשר המרחבים יכולים להיחתך אחד עם השני.

הגדרה פורמלית

מרחב טופולוגי M נקרא יריעה טופולוגית אם הוא מרחב האוסדורף, מקיים את האקסיומה השנייה של המנייה ולכל נקודה ${\displaystyle \ p\in M}$ קיימת קבוצה פתוחה U שמכילה את p והומאומורפית ל- ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$.
או באופן שקול- קיים לו כיסוי פתוח ${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$ (כאשר ${\displaystyle A}$ קבוצת אינדקסים) כך שכל ${\displaystyle \ U_{\alpha }}$ הומיאומורפי לקבוצה פתוחה ${\displaystyle \ V_{\alpha }}$, ${\displaystyle \ V_{\alpha }\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

לעיתים לא דורשים מהיריעה לקיים את האקסיומה השנייה של המנייה ומסתפקים באקסיומה הראשונה של המנייה שנובעת מהדמיון המקומי למרחב האוקלידי. יריעות כאלו עשויות לא להיות פרקומקטיות, ולכן לא תהיה להן באופן כללי חלוקת יחידה רציפה.
פונקציית ההומאומורפיזם בין ${\displaystyle \ U_{\alpha }}$ ל- ${\displaystyle \ V_{\alpha }}$ מסומנת ב- ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$.

הזוג ${\displaystyle \left(\ U_{\alpha }{\mbox{,}}\varphi _{\alpha }\right)}$ נקרא מפה ואוסף כל המפות נקרא אטלס. לכל ${\displaystyle \!\ \alpha }$, ${\displaystyle \varphi _{\alpha }=\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ כאשר ${\displaystyle \!\ x_{i}}$ היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-M אל ${\displaystyle \mathbb {R} }$. הפונקציות ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ נקראות קואורדינטות מקומיות של M.

קל לראות שלכל ${\displaystyle \alpha {\mbox{ ,}}\beta }$ הפונקציה ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}}$ שהיא פונקציה מ- ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ לעצמו היא פונקציה רציפה (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת). למעשה התנאי ההכרחי הזה הוא כמעט מספיק. כלומר בהינתן קבוצה M שמכוסה על ידי אוסף ${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$ בן מנייה, כך שלכל ${\displaystyle \ U_{\alpha }}$ קיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ שמעבירה את ${\displaystyle \ U_{\alpha }}$ לקבוצה פתוחה ב- ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, אז ניתן לבנות על M מבנה של יריעה טופולוגית אם כל הפונקציות ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}}$ הן פונקציות רציפות כפונקציות מתחום ההרכבה ל- ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. הבניה מתבצעת בשיטת הטופולוגיה החלשה על ידי הגדרת בסיס הטופולוגיה כאוסף כל ההעתקות ההפוכות של הקבוצות הפתוחות במרחב האוקלידי - ${\displaystyle \varphi _{\alpha }^{-1}(V)}$, עבור V קבוצה פתוחה ב- ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ,${\displaystyle \alpha \in A}$ כלשהו. כדי שהמרחב שמתקבל יהיה גם מרחב האוסדורף צריך לדרוש בנוסף שלכל שתי נקודות שונות קיימת קבוצה בכיסוי שמכילה את שתיהן, או שקיימות שתי קבוצות זרות בכיסוי כך שהקבוצה הראשונה מכילה את הנקודה הראשונה והקבוצה השנייה מכילה את הנקודה השנייה.

בעצם, המבנה של היריעה מוגדר על ידי אוסף הסביבות שמכסה אותו וההרכבות מהצורה ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}}$. אם הפונקציות שמתקבלות מההרכבה הן רציפות אז ניתן להעביר (ברמה מסוימת) את המבנה הטופולוגי של ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ולהגדיר בעזרתו מבנה טופולוגי על M.
אם נדרוש מהפונקציות ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}}$ להיות גם גזירות, חלקות או אנליטיות אז הפונקציות ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ יגדירו מבנה דיפרנציאלי מסוים על M, בנוסף למבנה הטופולוגי. במקרים האלו היריעה תיקרא יריעה גזירה, יריעה חלקה או יריעה אנליטית, בהתאם.

כיוון ששני מרחבים אוקלידיים הומאומורפיים זה לזה אם ורק אם הם בעלי אותו ממד - ממד היריעה נקבע באופן יחיד עבור כל יריעה שאיננה ריקה. כדי להימנע מכל מיני אנומליות של היריעה הריקה (כמו העובדה שממדה הוא יכול להיות כל מספר טבעי), יש הגדרות שדורשות שהיריעה לא תהיה ריקה.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

דוגמאות

• טבעת מביוס
• בקבוק קליין
• ספירה
• מרחב פרויקטיבי
• טורוס
• מטריית וויטני

דוגמאות נגדיות

• זוג ישרים שנחתכים זה עם זה בנקודה זו (כמו הקבוצה: {x, y) : xy=0)} )לא מהווים יריעה כיוון שאין סביבה של נקודת החיתוך שנראית כמו קו ישר אחד.
• כדי ליצור מרחב טופולוגי שדומה למרחב האוקלידי באופן מקומי, אבל אינו האוסדורף נשתמש בטופולוגיית המנה: נגדיר קודם את המרחב X להיות זוג הישרים {x,y) : y=1}, {(x,y): y=-1)} עם הטופולוגיה המושרית עליהם מהמישור. לכל ${\displaystyle \ x\neq 0}$ נדביק את הנקודות (x,1) ו- (x,-1) על ידי הגדרתם כשקולים. בצורה הזו נקבל מרחב טופולוגי חדש- M שבו כל סביבה של (0,1) נחתכת עם כל סביבה של (1-,0) (שהן עדיין נקודות שונות) ולכן המרחב אינו האוסדורף.
  לכל נקודה יש סביבה שהומאומורפית לישר. עבור נקודות שאינן (0,1) או (1-,0) זה ברור, ועבור (0,1) לדוגמה הסביבה היא פשוט כל המרחב חוץ מ- (1-,0).

ראו גם

• יריעה
• יריעה חלקה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא יריעה טופולוגית בוויקישיתוף

• יריעה טופולוגית, באתר MathWorld (באנגלית)