המשפט היסודי של האלגברה
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא בפרט מרוכב עם חלק מדומה 0. ניסוח שקול של משפט זה הוא ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית. שימוש חשוב של משפט זה, שהוא למעשה ניסוח שקול שלו, אומר כי כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לכתוב כמכפלה של גורמים ליניאריים.
ערך מחפש מקורות | |
לעומת שמו של המשפט, אין לו הוכחה שמשתמשת אך ורק באלגברה שכן הגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים, ודרוש שימוש כלשהו בה. ישנן הוכחות שאופיין אלגברי במהותו, אך כולן משתמשות במשפטים או כלים כלשהם מאנליזה, כדוגמת משפט ערך הביניים.
מן המשפט נובע שכל פולינום לא קבוע מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום יש שורש.