המכשפה של אנייזי

המכשפה של אנייזי או עקומת אנייזי היא עקומה שמשוואתה היא ${\displaystyle \!y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$, כאשר a הוא מספר קבוע. העקומה קרויה על שם המתמטיקאית האיטלקייה בת המאה ה-18, מריה גאטנה אנייזי, שעסקה בעקומה בספרה משנת 1748, אף שהעקומה נחקרה עוד בשנת 1630 על ידי פייר דה פרמה.

אנימציה המתארת את יצירתה של המכשפה של אנייזי

תיאור גאומטרי של העקומה

הסבר ליצירתה של המכשפה של אנייזי, שהיא העקומה המחברת את הנקודות M ו-P בשרטוט זה

על מעגל נתון נבחר זוג נקודות אנטיפודיות (נקודות שביניהן עובר קוטר) O ו-M. בהינתן על המעגל נקודה A (שונה מ-O) נסמן ב-N את מפגש הישר OA עם המשיק למעגל בנקודה M. נגדיר את P כנקודת המפגש של הישר העובר דרך N ומקביל לקוטר OM עם הישר העובר דרך A ומקביל למשיק MN. המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתאימות לכל הנקודות A על פני כל המעגל הנתון (עם O ו-M קבועים) הוא המכשפה של אנייזי.

תיאור אנליטי של העקומה

מהתיאור הגאומטרי של דרך בניית העקומה ניתן לעבור לתיאור פרמטרי שלה. אם מציבים את המעגל כך ש-O היא ראשית הצירים, שהנקודה M נמצאת על ציר ה-y, ושרדיוס המעגל הוא a (כלומר אורך הקטע OM הוא 2a), אז העקומה מוגדרת על ידי הנוסחאות:

${\displaystyle \!x=2a\tan \theta ,\ y=2a\cos ^{2}\theta \,}$,

כאשר ${\displaystyle \theta \,}$ היא הזווית הגדלה עם כיוון השעון שבין OM ו-OA.

מהתיאור הפרמטרי ניתן לקבל את משוואת העקומה בקואורדינטות קרטזיות: ${\displaystyle \!y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$. בפרט, כאשר a=1/2, מתקבלת העקומה הפשוטה ${\displaystyle \!y={\frac {1}{x^{2}+1}}}$, שהיא - עד כדי כפל בקבוע - פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות קושי.

תכונות

המכשפה של אנייזי עם הפרמטרים a=1, a=2, a=4, a=8

לעקומה יש מקסימום גלובלי כאשר x=0, ונקודת פיתול בנקודות ${\displaystyle (x,y)=(\pm 2a{\sqrt {3}}/3,3a/2)}$.

העקומה אסימפטוטית למשיק למעגל הנתון העובר דרך הנקודה O (כאשר הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, משיק זה הוא ציר ה-x). השטח הכלוא בין העקומה ובין משיק זה שווה לארבע פעמים שטחו של המעגל הנתון. כאשר רדיוס המעגל הנתון הוא a, השטח הכלוא בין העקומה ובין המשיק הוא ${\displaystyle 4\pi a^{2}}$. הצנטרואיד (מרכז הכובד) של שטח זה נמצא בנקודה ${\displaystyle \!\left(0,a/2\right)}$.

הנפח של גוף הסיבוב של המכשפה של אנייזי, הנוצר עם סיבובה סביב המשיק שהיא אסימפטוטית לו, הוא ${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$.

היסטוריה

העקומה נחקרה על ידי פייר דה פרמה בשנת 1630. בשנת 1703 הציג לואיג'י גואידו גרנדי בנייה של העקומה. בשנת 1718 הציע גרנדי לקרוא לעקומה באיטלקית בשם averisera, בעקבות השם האיטלקי של הפונקציה הטריגונומטרית versine שבה השתמש לתיאור העקומה. בשנת 1748 פרסמה מריה גאטנה אנייזי את ספרה Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, שבו השתמשה בשם שהציע גרנדי. המתמטיקאי האנגלי ג'ון קולסון תרגם את ספרה של אנייזי לאנגלית וכינה את העקומה "Agnesi's Witch", כנראה עקב הדמיון בין המונח averisera לבין המילה האיטלקית avversiera שמשמעותה "אשת השטן" או "מכשפה".^[1] שם דומה משמש בשפות נוספות, ובאחרות ידועה העקומה במונחים שמשמעותם "המקום הגאומטרי של אנייזי" או "עקומת אנייזי".

היסטוריון המתמטיקה דירק יאן סטרייק (Struik) מייחס את הכינוי "מכשפה" למתמטיקאי בנג'מין ויליאמסון, בספרו Integral calculus משנת 1875. הסטטיסטיקאי סטיבן סטיגלר טוען שכבר גרנדי עצמו השתעשע במשחק המילים שבשם שהציע.

"המכשפה של אנייזי" הוא גם שמו של רומן מאת רוברט ספילר משנת 2006, שבו מורה מציג גרסה משלו להיסטוריה של המושג.^[2]

שימושים

בשלהי המאה ה-20 הפכה המכשפה של אנייזי מעקומה בעלת משמעות תאורטית בלבד, לכזו המופיעה בהקשרים פיזיקליים, ובהם התפלגותן של קרני אור^[3] וזרימה סביב מכשול חלק.^[4]

לקריאה נוספת

• Gray, S.I.B. and Tagui Malakyan. "The Witch of Agnesi: A Lasting Contribution from the First Surviving Mathematical Work Written by a Woman," College Mathematics Journal, 30(4) (Sept. 1999), 258-268.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא המכשפה של אנייזי בוויקישיתוף

• המכשפה של אנייזי, באתר MathWorld (באנגלית)
• Witch of Agnesi, באתר MacTutor (באנגלית)