Loading AI tools
תהליך שמתאר גדילה כמותית כתלות בזמן מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
גדילה מעריכית או צמיחה אקספוננציאלית (באנגלית: Exponential Growth) היא תהליך שמתאר גדילה כמותית כתלות בזמן. גדילה זו מתרחשת כאשר הקצב הרגעי של השינוי הכמותי (אשר ניתן לתיאור על ידי הנגזרת של הפונקציה הכמותית), פרופורציונלי לכמות עצמה.[1]
בערך זה |
פונקציה המתארת גדילה מעריכית מיוצגת על ידי אקספוננט, זאת בשונה מפונקציות אחרות המתארות גדילה, כגון פרבולה או ישר. אם קבוע הפרופורציה המתאר את הגדילה הוא בעל סימן שלילי, אזי נהוג לומר כי מדובר בדעיכה מעריכית ולא בגדילה. במקרה שהמרחב מעליו מוגדרת הפונקציה הוא מרחב בדיד ולא רציף, ההתנהגות הפונקציונלית מכונה גדילה גאומטרית או דעיכה גאומטרית, מאחר שערכי הפונקציה ניתנים למיפוי כטור גאומטרי.
הנוסחה לגדילה מעריכית עבור משתנה שמוגדר מעל זמן בדיד (סדרת הרגעים ) שקצב הגדילה שלו הוא , נתונה על ידי: כאשר מוגדר להיות ערך המשתנה בראשית הזמן.[1]
גדילה שכזו מתקיימת בתחומים שונים בחיי היומיום, ובהם: הפצת זיהום נגיפי, תפיחה של חוב לאור ריבית דריבית וכן התפשטות של סרטונים ויראליים ברשת האינטרנט. במקרים אלה ונוספים, הגדילה המעריכית אינה נמשכת לעד, אלא מאטה החל משלב מסוים לאור קיומם של חסמים עליוניים חיצוניים (למשל, קיומה של אוכלוסייה סופית או מגבלות מרחביות שונות), והגדילה הופכת להיות גדילה לוגיסטית.[2]
גדילה מעריכית מכונה לעיתים בשם השגוי "גדילה מהירה", אלא שגדילה מעריכית עשויה גם להיות איטית.[3][4]
הגודל תלוי מעריכית בזמן אם ניתן לומר כי:
כאשר הקבוע מתאר את ערכו ההתחלתי של הגודל :
הקבוע הוא פקטור גדילה חיובי, בעוד הוא קבוע המתאר את משך הזמן הדרוש עבור להכפיל את עצמו פעמים:
אם ו-, אז מדובר בגדילה מעריכית. אם ו-, או לחלופין ו- הרי שמדובר בדעיכה מעריכית.
אם אוכלוסיית חיידקים מכפילה את גודלה בכל עשר דקות, והאוכלוסייה ההתחלתית מונה חיידק אחד בלבד, כמה חיידקים יהיה בכלי לאחר שעה אחת?
מנתוני השאלה ניתן להסיק כי (זו האוכלוסייה ההתחלתית), (זהו קבוע ההכפלה), ו- (זהו משך הזמן הנדרש להכפלת האוכלוסייה פי 2).
נציב את המספרים בנוסחה לגדילה המעריכית ונקבל:
כלומר בסך הכל יהיו 64 חיידקים מקץ שעה אחת.
זוגות רבים של הקבועים (כאשר הוא מספר אי-שלילי חסר יחידות ו- הוא קבוע בעל יחידות של זמן), מייצגים בדיוק את אותו קצב הגדילה, כאשר פרופורציונלי ל-. מכאן, שניתן לכתוב את ההתנהגות הפונקציונלית של הגדילה באופנים רבים השקולים זה לזה, למשל:
כאשר היא הכמות ההתחלתית. בכל צעד הוחלף הבסיס המעריכי, ובהתאם נבחרו קבועי זמן אחרים:
וניתן לקשור בצורה חד-חד-ערכית בין כל הקבועים הללו (הקשר נגזר מהפעלת לוגריתם טבעי על כל אגפי השקילות):
כאשר שקול ל- ול- אינסופיים.
אם מתאר את יחידת הזמן בבעיה (למשל, דקות או שעות), אז השבר מייצג את מספר יחידות הזמן. במקום להשתמש בסימון עבור מספר יחידות הזמן (שהוא גודל חסר ממדים) במקום משתנה הזמן עצמו, ניתן להחליף את הגודל במשתנה בלבד (שבו הזמן מיוצג ביחידות אמיתיות). לשם האחידות, הסימון המוצע איננו בשימוש במסגרת ערך זה. כך שבמקרה לעיל, החלוקה ב- היא לא חלוקה נומרית גרידא, אלא המרה של מספר חסר ממדים למספר בעל ממדים.
שיטת קירוב פופולרית לחישוב זמן ההכפלה מתוך אחוז הגדילה, היא "כלל ה-70", לפיו . בקירוב אחר, המונה הוא 72.
אם משתנה גדל בצורה אקספוננציאלית וניתן לייצוג על פי הנוסחה , אזי גדל ליניארית, בכל בסיס לוגריתמי. ניתן לראות זאת באמצעות הוצאת לוגריתם משני אגפי המשוואה: .
הדבר מאפשר למדל משתנה שגדל בצורה אקספוננציאלית באמצעות מודלים לוג-ליניאריים. לדוגמה, אם נדרשת הערכה אמפירית של קצב הגדילה של משתנה ביחס לזמן, ניתן לבצע רגרסיה ליניארית על הלוגריתם של המשתנה , ביחס לזמן .[22]
מתוך הפונקציה המעריכית ניתן לגזור את המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבאה:
דהיינו, השינוי הרגעי של הגודל ביחס לזמן , פרופורציונלי לערכו של .
על ידי הפרדת משתנים וביצוע אינטגרל בשני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן לחזור לתצורה המקורית:
כך שאכן נקבל , ואילו , הרי שלפנינו דעיכה מעריכית.
קיימים מספר סדרי גודל של קצבי צמיחה, כאשר כל הפונקציות ששייכות למשפחת צמיחה אחת תמיד תשאפנה לאינסוף מהר יותר מפונקציות ששייכות למשפחה אחרת, בהינתן שמשפחת הפונקציות שואפת מהר יותר לאינסוף. לדוגמה, בטווח הארוך, גדילה מעריכית מהירה יותר מכל גדילה ליניארית (הבסיס למלתוסיאניזם) וגם מכל גדילה פולינומית. כלומר, לכל מתקיים . בפועל קיים רצף של קצבי צמיחה, וניתן למצוא קצבי צמיחה שנמצאים בין שני אלו מבחינת מהירות השאיפה שלהם לאינסוף, כלומר הם איטיים מצמיחה מעריכית, ומהירים מצמיחה ליניארית.
קיימים גם קצבי צמיחה מהירים יותר מקצב אקספוננציאלי. כאשר פונקציית צמיחה שואפת לאינסוף בזמן סופי, היא מכונה צמיחה היפרבולית (אנ'). בין הצמיחה האקספוננציאלית לבין הצמיחה ההיפרבולית קיימות משפחות צמיחה נוספות ששואפות לאינסוף מהר מפונקציות אקספוננציאליות, למשל היפר-פעולות כמו טטרציה, והאלכסון של פונקציית אקרמן, .
בדוגמאות מציאותיות שמתנהגות בצורה אקספוננציאלית, הצמיחה האקספוננציאלית הראשונית לרוב אינה נמשכת לנצח. במקרים כאלו, לאחר תקופה כלשהי של גדילה בקצב אקספוננציאלי, קצב הגדילה מאט בהשפעת גורמים חיצוניים או סביבתיים. לדוגמה, הגידול של אוכלוסייה מסוימת עשוי להיות חסום על ידי גבול עליון בשל מגבלות משאבים.[23] בשנת 1845, המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט הציג לראשונה מודל מתמטי של צמיחה כזו, שנקראת "צמיחה לוגיסטית".[24]
מודלים של גדילה מעריכית המתארים תופעות פיזיקליות, ניתנים ליישום בצורה מוגבלת, שכן גדילה בלתי מוגבלת איננה תואמת את המציאות.
על אף שגדילה עשויה להיות מעריכית בתחילתה, התופעה המתוארת תתקדם לבסוף לאזור שבו פקטורי משוב שליליים יהפכו למשמעותיים (מה שיוביל למודל גדילה לוגיסטית), או שהנחות מובלעות של המודל המעריכי, כגון רציפות או משוב מיידי, יאבדו ממשמעותן.
דוגמה מובהקת למגבלות של מודל גדילה מעריכית, ניתן למצוא בחוק ריילי-ג'ינס לקרינת גוף שחור. עבור אורכי גל קצרים, עוצמת הקרינה שואפת לאינסוף, בניגוד לחוק שימור האנרגיה (מה שכונה בשם "הקטסטרופה של העל-סגול"). הניסוח המשלים לאורכי גל קצרים מצוי בחוק וין, והניסוח הכללי ביותר, המאחד את כלל אורכי הגל, מצוי בחוק פלאנק.[25]
מחקרים מראים שבני אדם מתקשים להבין גדילה מעריכית. כאשר נוצר פער בין האופן שבו אדם מעריך גדילה מעריכית לבין ההשפעה שלה, נוצרת הטיה. להטייה זו יכולות להיות השלכות כספיות.[26]
להלן מספר דוגמאות המדגימות את הקושי.
האגדה מספרת על ממציא משחק השחמט שהוזמן אל קיסר סין. הקיסר שאל מה ירצה כאות תודה על המשחק המופלא. לממציא השחמט הייתה בקשה מפתיעה: תן לי גרגרי אורז על משבצות לוח השחמט, כאשר בכל משבצת יש כמות כפולה של גרגרים מהקודמת לה - גרגר אורז על המשבצת הראשונה, שני גרגירים על השנייה, ארבעה במשבצת השלישית וכן הלאה. הקיסר שאל בתמהון: האם זה כל מה שתרצה? הממציא השיב לו בצניעות שדי לו בגרגירי האורז שביקש. הקיסר הסכים מיד לבקשתו. אך מה גדולה הייתה תדהמתו, כאשר משרתיו ועבדיו חזרו בבושת פנים וענו לו, כי אין בכל הארמון של הקיסר, ואף לא בארץ סין כולה, די אורז כדי למלא אחר הבקשה.
והנה הניסוח המתמטי של הסיפור:
ישנה בעיה ידועה במתמטיקה המתארת הנחת אורז על לוח שחמט, כך שעל המשבצת הראשונה מונח גרגר אורז אחד, על השנייה מונחים שניים, על השלישית ארבעה, על הרביעית שמונה וכך הלאה, כאשר בכל משבצת מספר הגרגרים מוכפל פי שניים ממספר הגרגרים במשבצת הקודמת. השאלה הנשאלת היא כמה גרגרים של אורז יהיה מונחים על לוח השחמט בסוף התהליך.
הבעיה מתארת גדילה אקספוננציאלית כך שעל הריבוע ה- מונחים גרגרים. בגלל הדרישה הזו, על הריבוע ה-21 במספרו יונחו מעל למיליון גרגירים, על הריבוע ה-41 יונחו מעל לטריליון () גרגרים ובמשבצות האחרונות כמות האורז המונחת תהיה גדולה יותר מכמות האורז הקיימת בעולם.[27]
הבעיה הזו ממחישה את הקושי התפיסתי של גדילה אקספוננציאלית.
חידה מתמטית נוספת שממחישה את הקושי התפישתי של גדילה אקספוננציאלית היא חידת התרבות שושנת המים.
החידה מתארת בריכה שמכילה צמח שושנת מים. הצמח מכפיל את שטחו בכל יום, וביום השלושים מכסה את הבריכה כולה. משיב החידה נדרש לומר באיזה יום כיסתה השושנה חצי משטח הבריכה. חשיבה אינטואיטיבית מובילה אדם לענות שהתשובה היא היום ה-15, על אף שהתשובה הנכונה היא היום ה-29.[28]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.