Raíz cadrada

En matemáticas, a raíz cadrada dun número real non negativo x é o número real non negativo que, multiplicado consigo mesmo, dá x. A raíz cadrada de x escríbese ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$. Por exemplo, ${\displaystyle {\sqrt {16}}=4}$, xa que 4 × 4 = 16, e ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1,4142...}$. As raíces cadradas son importantes na resolución de ecuacións cadráticas.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Raíz (homónimos).

Símbolo para a raíz cadrada de x.

A xeneralización da función raíz cadrada ós números negativos dá lugar ós números imaxinarios e ao corpo dos números complexos.

O símbolo da raíz cadrada empregouse por primeira vez no século XVI. Especúlase con que tivo a súa orixe nunha forma alterada da letra r minúscula para representar a palabra latina "radix", que significa "raíz".

Definición

Sexa n un número natural non nulo. A función x → xⁿ define unha bixección, de R para R se n é impar, e de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,\infty ]}$ se ${\displaystyle n}$ é par.
Chámase enésima raíz, ou raíz de orde n á súa función inversa, e denótase:

${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}}$. (dúas notacións posibles)

Para todo n natural, a e b reais positivos, temos a equivalencia:

${\displaystyle a=b^{n}\iff b={\sqrt[{n}]{a}}}$.

No gráfico seguinte, hai debuxadas as curvas dalgunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A diagonal da ecuación y = x é eixo de simetría entre cada curva e a curva da súa recíproca.

Cambiando de escala:

A raíz de orde dúas chámase raíz cadrada e, por ser a máis frecuente, escríbese sen superíndice: ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ en vez de ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{x}}}$.
A raíz de orde tres chámase raíz cúbica.

O cálculo efectivo da raíz faise mediante as funcións logaritmo e exponencial:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left(\ln {\frac {x}{n}}\right)={\frac {e^{\ln x}}{n}}}$.

Tódolos ordenadores e calculadoras empregan este método. O problema é que este cálculo non funciona cos números negativos, porque o logaritmo usual so está definido en (0; + ∞). De aí unha tendencia, aínda minoritaria, de definir as raíces a partir desta fórmula, e polo tanto de restrinxir os seus dominios de definición a (0; + ∞).

Propiedades

As seguintes propiedades da raíz cadrada son válidas para tódolos números positivos x, y (e, no primeiro caso, distintos de cero):

${\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|}$ para todo número real x (véxase valor absoluto)

${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}$, que é outro xeito de expresar a raíz cadrada.

A función raíz cadrada, en xeral, transforma números racionais en números alxébricos; ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ é racional se e só se x é un número racional que pode escribirse como fracción dos cadrados perfectos. Se o denominador é 1² = 1, entón trátase dun número natural. En cambio, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ é irracional.

A función raíz cadrada, como inversa que é da potenciación por 2, transforma a superficie dun cadrado na lonxitude do seu lado.

Véxase tamén

Outros artigos

• Raíz enésima