Principio de Arquímedes

O principio de Arquímedes é un principio físico que afirma que "un corpo total ou parcialmente somerxido nun fluído en repouso, recibe un impulso de abaixo cara a arriba igual ao peso do volume do fluído que desaloxa".

Exemplo do principio de Arquímedes.

Esta forza ^[1] recibe o nome de impulso hidrostático ou impulso de Arquímedes, e mídese en newtons (no SI).

O principio de Arquímedes formúlase así:

${\displaystyle E=m\;g=\rho _{\text{f}}\;g\;V\;}$

Onde E é o impulso, ρ_f é a densidade do fluído, V o volume de fluído desprazado por algún corpo somerxido parcial o totalmente no mesmo, g a aceleración da gravidade e m a masa, deste modo, o impulso depende da densidade do fluído, do volume do corpo e da gravidade existente no lugar. O impulso (en condicións normais ^[2] e descrito de modo simplificado^[3]) actúa verticalmente cara a arriba e está aplicado no centro de gravidade do fluído desaloxado polo corpo; este punto recibe o nome de centro de carena.

Historia

A anécdota máis coñecida sobre Arquímedes, matemático da antiga Grecia, conta como inventou un método para determinar o volume dun obxecto cunha forma irregular. De acordo con Vitruvio, arquitecto da antiga Roma, cando unha nova coroa, con forma de coroa triunfal, se fabricara para Hierón II, tirano gobernador de Siracusa, este pediulle a Arquímedes que pescudase se a coroa estaba feita de ouro puro ou se un ourive deshonesto lle agregara prata.^[4] Arquímedes tiña que resolver o problema sen danar a coroa, así que non podía fundila e convertela nun corpo regular para calcular a súa densidade.

Mentres tomaba un baño, notou que o nivel da auga subía na bañeira cando entraba, e así deuse de conta de que ese efecto podería usarse para determinar o volume da coroa. Debido a que a compresión da auga sería desprezábel,^[5] a coroa, ao mergullarse, desprazaría unha cantidade de auga igual ao seu propio volume. Ao dividir a masa da coroa polo volume da auga desprazada, poderíase obter a densidade da coroa. A densidade da coroa sería menor se outros metais máis baratos e menos densos se lle engadiran. Entón, Arquímedes saíu correndo espido polas rúas, de tan emocionado como estaba polo seu descubrimento como para esquecer vestirse, gritando Eureka! (en grego antigo: εὕρηκα, que significa 'encontreino!') ^[6]

A historia da coroa non aparece nos traballos coñecidos de Arquímedes, pero no seu tratado Sobre os corpos flotantes dá o principio de hidrostática coñecido como o principio de Arquímedes.

Demostración

Aínda que o principio de Arquímedes se introduciu como principio (como o seu nome indica), de feito pode considerarse un teorema demostrábel a partir das ecuacións de Navier-Stokes para un fluído en repouso, mediante o teorema de Stokes (igualmente o principio de Arquímedes pode deducirse matematicamente das ecuacións de Euler para un fluído en repouso que á súa vez poden deducirse xeneralizando as leis de Newton a un medio continuo). Partindo das ecuacións de Navier-Stokes para un fluído:

(1)

${\displaystyle \rho _{f}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\right]=\mu \Delta \mathbf {v} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\rho _{f}\mathbf {g} }$

A condición de que o fluído incompresíbel estea en repouso implica tomar na ecuación anterior ${\displaystyle \mathbf {v} =0}$, o que permite chegar á relación fundamental entre presión do fluído, densidade do fluído e aceleración da gravidade:

(2)

${\displaystyle 0=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\rho _{f}\mathbf {g} }$

A partir desta relación podemos reescribir facilmente as forzas sobre un corpo mergullado en termos do peso do fluído desaloxado polo corpo. Cando se somerxe un sólido K nun fluído, en cada punto da súa superficie aparece unha forza por unidade de superficie ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} }$ perpendicular á superficie nese punto e proporcional á presión do fluído p nese punto. Se chamamos ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$ ao vector normal á superficie do corpo podemos escribir a resultante das forzas ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} =-p\mathbf {n} }$ sinxelamente mediante o teorema de Stokes da diverxencia:

(3)

${\displaystyle {\begin{cases}F_{x}=\int _{S_{K}}f_{x}dS=\int _{S_{K}}-pn_{x}dS\\F_{y}=\int _{S_{K}}f_{y}dS=\int _{S_{K}}-pn_{y}dS\\F_{z}=\int _{S_{K}}f_{z}dS=\int _{S_{K}}-pn_{z}dS\end{cases}}\quad \Rightarrow {\begin{cases}F_{x}=\int _{V_{K}}{\cfrac {\partial (-pn_{x})}{\partial x}}dV\\F_{y}=\int _{V_{K}}{\cfrac {\partial (-pn_{y})}{\partial y}}dV\\F_{z}=\int _{V_{K}}{\cfrac {\partial (-pn_{z})}{\partial z}}dV\end{cases}}}$


${\displaystyle \Rightarrow \qquad \mathbf {F} =\int _{V_{K}}-{\boldsymbol {\nabla }}p\ dV=\int _{V_{K}}-\rho _{f}\mathbf {g} \ dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \ V_{K}}$

Onde a última igualdade dáse só se o fluído e incompresíbel.

Caso dun prisma recto

Para un prisma recto de base A_b e altura H, somerxido en posición vertical, a demostración anterior é realmente elemental. Pola configuración do prisma dentro do fluído as presións sobre a área lateral só producen pulos horizontais que ademais se anulan entre si e non contribúen a sustentalo. Para as caras superior e inferior, posto que todos os seus puntos están somerxidos, respectivamente, á mesma profundidade, a presión é constante e podemos usar a relación Forza = presión x área e tendo en conta as resultantes sobre a cara superior e inferior, temos:

(4) ${\displaystyle E=p_{inf}A_{b}-p_{sup}A_{b}\;}$

Onde ${\displaystyle p_{inf}}$ é a presión aplicada sobre a cara inferior do corpo, ${\displaystyle p_{sup}}$ é a presión aplicada sobre a cara superior e A a área proxectada do corpo. Tendo en conta a ecuación xeral da hidrostática, que establece que a presión nun fluído en repouso aumenta proporcionalmente coa profundidade:

(5) ${\displaystyle p(z)=\rho _{f}gz\rightarrow E=p_{inf}A-p_{sup}A=\rho _{f}g(z_{inf}-z_{sup})A=\rho g(HA)}$

Introducindo no último termo o volume do corpo e multiplicando pola densidade do fluído ρ_f vemos que a forza vertical ascendente F_V é precisamente o peso do fluído desaloxado.

(6) ${\displaystyle E=\rho _{f}V_{des}\;}$

O impulso ou forza que exerce o líquido sobre un corpo, en forma vertical e ascendente, cando este está somerxido, resulta ser tamén a diferenza entre o peso que ten o corpo suspendido no aire e o "peso" que ten o mesmo cando se introduce nun líquido. Este último coñécese como peso "aparente" do corpo, pois o seu peso no líquido diminúe aparentemente; a forza que exerce a Terra sobre o corpo permanece constante, pero o corpo, á súa vez, recibe unha forza cara a arriba que diminúe a resultante vertical.

Notas

1. O impulso de abaixo cara a arriba non sempre é suficiente para desprazar o corpo, pois se este é máis denso que o fluído no que está inmerso dito corpo non se desprazará cara a arriba, aínda máis, afundirá a pesar do impulso arquimideano, se ben o fará máis lentamente. Subirá (flotará) só se a súa densidade é menor que a do fluído.
2. En condicións de ingravidez (ou pseudoingravidez por caída libre como sucede ao orbitar) e para corpos suficientemente pequenos que non poidan xerar un campo gravitacional propio apreciábel, a presión hidrostática deixa de existir. En consecuencia, baixo estas condicións non hai ningunha clase de impulso cara a ningún lado por ausencia de gradiente de presións, o que implica que o principio de Arquímedes, nesas condicións "non é aplicábel".
3. As forzas que actúan hidrostaticamente sobre outro corpo fano distribuídas por toda a superficie de contacto que teñan co mesmo, a integral destas forzas de superficie (presións) daranos unha resultante de forzas situadas no centro de gravidade, isto permítenos validamente e por simplicidade imaxinar abstractamente que está actuando unha soa forza alí, pero o correcto é que non existe en realidade unha forza aplicada no centro de gravidade.
4. Vitruvio. "De Architectura, Libro IX, parágrafos 9–12, texto en varios idiomas". University of Chicago. Consultado o 16-07-2011.
5. "Incompressibility of Water". Harvard University. Consultado o 16-07-2011.
6. HyperPhysics. "Buoyancy". Georgia State University. Consultado o 16-07-2011.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006): Lecciones de Física (4 volumes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004): Física. México: CECSA, ISBN 970-24-0257-3
• Tipler, Paul A. (2000): Física para la ciencia y la tecnología (2 volumes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3

Outros artigos

• Hidrostática.
• Arquímedes.
• Aerómetro.