Condición necesaria e suficiente

En lóxica e matemáticas, necesario e suficiente son termos usados para describir unha relación condicional ou implicacional entre dous enunciados. Por exemplo, no enunciado condicional: "Se P entón Q", P é suficiente para Q, porque que P sexa verdadeiro sempre implica que Q é verdadeira, mais que P non sexa verdadeira non sempre implica que Q non sexa verdade, pode haber outras condicións que tamén impliquen Q. Por outra parte, é máis complicado de ver que Q é necesario para P pois é imposíbel ter P sen Q, ou a falsidade de Q asegura a falsidade de P.^[1][2]

En xeral, unha condición necesaria é aquela (posiblemente unha de varias condicións) que debe estar presente para que se produza outra condición, mentres que unha condición suficiente é aquela que por si mesma produce a dita condición.^[3] A afirmación de que unha afirmación é unha condición "necesaria e suficiente" significa que a primeira afirmación é verdadeira se e só se a segunda é certa. É dicir, as dúas afirmacións deben ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.^[4][5][6]

Definicións

No enunciado condicional, "se S, entón N ", a expresión representada por S chámase antecedente e a expresión representada por N denomínase consecuente. Esta declaración condicional pódese escribir de varias maneiras equivalentes, como "N se S ", "S só se N ", "S implica N ", "N está implicado por S ", S → N, S ⇒ N e "N sempre que S".

Táboa de verdade

		${\displaystyle S\Rightarrow N}$	${\displaystyle S\Leftarrow N}$	${\displaystyle S\Leftrightarrow N}$
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Necesario

Que o sol estea por riba do horizonte é unha condición necesaria para a luz solar directa; mais non é unha condición suficiente, xa que algo pode estar proxectando unha sombra, por exemplo, a lúa no caso dunha eclipse.

A afirmación de que Q é necesaria para P é coloquialmente equivalente a "P non pode ser verdadeira a menos que Q sexa verdadeira" ou "se Q é falsa, entón P é falsa". ^{[7] [1]} Por contraposición, isto é o mesmo que "sempre que P é verdadeira, tamén o é Q ".

A relación lóxica entre P e Q exprésase como "se P, entón Q" e denotase "P ⇒ Q" ( P implica Q ). Tamén se pode expresar como "P só se Q", " Q, se P ", "Q sempre que P " e "Q cando P ". A miúdo atópanse, na prosa matemática, por exemplo, varias condicións necesarias que, tomadas en conxunto, constitúen unha condición suficiente (é dicir, necesarias individualmente e suficientes conxuntamente ^[7]).

Suficiente

Que un tren circule a tempo pode ser unha condición suficiente para chegar a tempo (se un sube ao tren e sae a tempo, entón chegará a tempo); mais non sempre é unha condición necesaria, xa que hai outras formas de viaxar (se o tren non vai a tempo, aínda se podería chegar a tempo por outros medios de transporte).

Se P é suficiente para Q, entón saber que P é verdadeira é un motivo adecuado para concluír que Q é verdadeira; porén, saber que P é falsa non satisfai unha necesidade mínima de concluír que Q é falsa.

A relación lóxica exprésase, como antes, como "se P, entón Q" ou "P ⇒ Q". Isto tamén se pode expresar como "P só se Q", "P implica Q" ou varias outras variantes. Pode darse o caso de que varias condicións suficientes, tomadas en conxunto, constitúan unha única condición necesaria (é dicir, suficiente individual e necesariamente conxuntamente)

Relación entre necesario e suficiente

Estar na rexión morada (a intersección) é suficiente para estar en A, mais non é necesario. Estar en A é necesario para estar na rexión morada (a intersección), mais non suficiente. Estar en A e estar en B é necesario e suficiente para estar na rexión morada (a intersección).

Unha condición pode ser necesaria ou suficiente sen ser a outra. Por exemplo, ser un mamífero (N) é necesario mais non suficiente para ser humano (S), tamén un número ${\displaystyle x}$ é racional (S) é suficiente mais non necesario para que ${\displaystyle x}$ sexa un número real (N) (xa que hai números reais que non son racionais).

Unha condición pode ser necesaria e suficiente. Por exemplo, "hoxe é o 25 de xullo" é unha condición necesaria e suficiente para "hoxe é o Día da Galicia". Do mesmo xeito, unha condición necesaria e suficiente para a invertibilidade dunha matriz M é que M teña un determinante distinto de cero.

Necesario e suficiente simultáneas

Dicir que P é necesario e suficiente para Q é dicir dúas cousas:

1. que P é necesario para Q, ${\displaystyle P\Leftarrow Q}$, e que P é suficiente para Q, ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ .
2. equivalentemente, pódese entender que P e Q son necesarios para o outro, ${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$, que tamén se pode afirmar como cada un é suficiente para ou implica o outro.

Pódese resumir calquera, e polo tanto todos, estes casos coa afirmación "P se e só se Q", que se denota por ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$, mentres que os casos dinnos iso ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ é idéntico a ${\displaystyle P\Rightarrow Q\land Q\Rightarrow P}$ .

En matemáticas, os teoremas adoitan expresarse na forma "P é verdadeira se e só se Q é verdade".

Podemos escribir ${\displaystyle P\Leftrightarrow Q\equiv Q\Leftrightarrow P}$ porque as afirmacións "P é verdadeira se e só se Q é verdadeira" e "Q é verdadeira se e só se P é verdadeira" son equivalentes.

Notas

1. "[M06] Necessity and sufficiency". philosophy.hku.hk. Consultado o 2019-12-02.
2. Bloch, Ethan D. (2011). Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics. Springer. pp. 8–9. ISBN 978-1-4419-7126-5.
3. Confusion-of-Necessary (2019-05-15). "Confusion of Necessary with a Sufficient Condition". www.txstate.edu. Consultado o 2019-12-02.
4. Betz, Frederick (2011). Managing Science: Methodology and Organization of Research. New York: Springer. p. 247. ISBN 978-1-4419-7487-7.
5. Manktelow, K. I. (1999). Reasoning and Thinking. East Sussex, UK: Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.
6. Asnina, Erika; Osis, Janis; Jansone, Asnate (2013). "Formal Specification of Topological Relations". Databases and Information Systems VII 249 (Databases and Information Systems VII): 175. doi:10.3233/978-1-61499-161-8-175.
7. "The Concept of Necessary Conditions and Sufficient Conditions". www.sfu.ca. Consultado o 2019-12-02.

Véxase tamén

Outros artigos

• se e só se.
• Modus ponens.
• Modus tollens.

Ligazóns externas

• Tutorial web de pensamenteo crítico: Necessary and Sufficient Conditions
• Simon Fraser University: Concepts with examples