Elemento primo

En matemáticas, especificamente en álxebra abstracta, un elemento primo dun anel conmutativo é un obxecto que satisfai certas propiedades similares aos números primos dos enteiros e aos polinomios irredutíbeis. Débese ter coidado de distinguir os elementos primos dos elementos irreducíbeis, un concepto que é o mesmo nos UFD mas non o mesmo en xeral.

Definición

Un elemento p dun anel conmutativo R dise que é primo se non é o elemento cero ou unha unidade e sempre que p divide ab para algúns a e b en R, entón p divide a ou p divide b. Con esta definición, o lema de Euclides é a afirmación de que os números primos son elementos primos no anel de enteiros. De forma equivalente, un elemento p é primo se, e só se, o ideal principal (p) xerado por p é un ideal primo distinto de cero.^[1] (Teña en conta que nun dominio de integridade, o ideal (0) é un ideal primo, mais 0 é unha excepción na definición de "elemento primo".)

Ser primo está relacionado con en que anel se considera que está un elemento. Por exemplo, 2 é un elemento primo en Z mais non está en Z[i], o anel dos enteiros gaussianos, xa que 2 = (1 + i)(1 − i) e 2 non divide ningún factor no lado dereito da igualdade.

Conexión cos ideais primos

Un ideal I no anel R (con unidade) é un primo se o anel factor R/I é un dominio de integridade.

Nun dominio de integridade, un ideal principal distinto de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo.

Un elemento p nun anel R é un elemento primo se xera un ideal primo. Se R é conmutativo, isto equivale a dicir que para todos os ${\displaystyle a,b\in R}$, se p divide a b, daquela p divide a ou p divide b.^[2]

Elementos irreducíbeis

Artigo principal: elemento irreducíbel.

Os elementos primos non deben confundirse cos elementos irreducíbeis. Nun dominio de integridade, todo primo é irreducíbel^[3] mais o recíproco non é certo en xeral. No entanto, en dominios de factorización única, ^[4] ou máis xeralmente en dominios GCD, os primos e os irreducíbeis son iguais.

Exemplos

Os seguintes son exemplos de elementos primos en aneis:

• Os enteiros ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... no anel de enteiros Z
• os números complexos (1 + i), 19 e (2 + 3i) no anel de enteiros gaussianos Z[i]
• os polinomios x² − 2 e x² + 1 en Z[x], o anel de polinomios sobre Z .
• 2 no anel cociente Z/6Z
• x² + (x² + x) é primo mais non irreducíbel no anel Q[x]/(x² + x)
• No anel Z² de pares de enteiros, (1, 0) é primo mais non irreducíbel (temos (1, 0)² = (1, 0) ).
• No anel dos enteiros alxébricos ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}$ o elemento 3 é irreducíbel mais non primo (pois 3 divide ${\displaystyle 9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})}$ e 3 non divide ningún factor do lado dereito da igualdade).