Recta

A recta, en xeometría, é o ente ideal que só posúe unha dimensión e contén infinitos puntos. Está composta de infinitos segmentos (o fragmento de liña máis curto que une dous puntos). Tamén se describe como a sucesión continua e indefinida de puntos nunha soa dimensión.

É un dos entes xeométricos fundamentais, xunto ao punto e o plano. Son considerados conceptos apriorísticos, xa que a súa definición só é posíbel a partir da descrición das características doutros elementos similares. Así, é posíbel elaborar definicións baseándose nos Postulados característicos que determinan relacións entre os entes fundamentais. As rectas adóitanse denominar cunha letra minúscula.

Definicións e postulados de Euclides relacionados coa recta

Euclides, no seu tratado denominado Os Elementos,^[1] estabelece varias definicións relacionadas coa liña e a liña recta:

• Unha liña é unha lonxitude sen anchura (Libro I, definición 2).
• Os extremos dunha liña son puntos (Libro I, definición 3).
• Unha liña recta é aquela que xace por igual respecto dous puntos que estean nela (Libro I, definición 4).

Tamén estabeleceu dous postulados relacionados coa liña recta:

• Por dous puntos diferentes só pasa unha liña recta (Libro I, postulado 1).
• Se unha recta secante corta a dúas rectas formando a un lado ángulos interiores, a suma dos cales é menor que dous ángulos rectos: as dúas rectas, suficientemente alongadas, cortaranse no mesmo lado (Libro I, postulado 5).

Características da recta

Algunhas das características da recta son as seguintes:

• A recta prolóngase até o infinito en ambos sentidos.
• A distancia máis curta entre dous puntos é unha recta.
• A recta é un conxunto de puntos situados ao longo da intersección de dous planos.

Rectas no plano

Unha recta no plano pode ser descrita das seguintes formas:

• dando dous puntos da recta;
• dando un punto da recta e a súa pendente;
• dando un punto da reta e un vector normal a esa recta;
• dando un punto e un vector da reta.

Rectas no espazo

Unha reta no espazo pode ser descrita das seguintes formas:

• dando dous puntos da reta;
• dando un punto da reta e dous vectores normais a esa recta, non colineares;
• dando un punto e un vector da reta.

Na xeometría analítica

A xeometría analítica consiste en empregar operacións de cálculo numérico para resolver problemas de xeometría. Nun plano, podemos representar unha recta mediante unha ecuación.

Ecuación da recta

A recta escríbese en forma dunha ecuación de dúas incógnitas. Ten sempre a forma simplificada de ${\displaystyle y=mx+n}$, onde ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ corresponden ás coordenadas dun punto ${\displaystyle P(x,y)}$ e ${\displaystyle m}$ é a pendente. A pendente ${\displaystyle m}$ é a tanxente da recta co eixo de abscisas ${\displaystyle X}$.

Tomados dous puntos dunha recta, a pendente ${\displaystyle m\,}$, é sempre constante. Pódese calcular mediante a ecuación:

${\displaystyle m=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)}$

Pódese obter a ecuación da recta a partir da fórmula da pendente:

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})\!}$

Este xeito de obter a ecuación dunha recta utilízase máis ben cando se coñecen a pendente e as coordenadas dun dos seus puntos, ou cando se coñecen dous puntos, polo que tamén se lle chama ecuación da recta coñecidos dous puntos, e débeselle a Jean Baptiste Biot.

Exemplo:

• A ecuación da recta que pasa polo punto ${\displaystyle P(2,-4)}$ e que ten unha pendente ${\displaystyle m}$ de -1/3.

Témola expresión: ${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})\!}$

Substituímos ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle y_{1}}$ (datos coñecidos, un punto e a pendente):

${\displaystyle y-(-4)=-1/3(x-2)\!}$

Sacámolos parénteses:

${\displaystyle y+4=-1/3x+2/3\!}$

E xa teriamos a forma simplificada da ecuación da recta:

${\displaystyle y=-(1/3)x-10/3\!}$

Notas

1. http://www.euclides.org: Los Elementos Arquivado 06 de marzo de 2009 en Wayback Machine. (en castelán) A obra non fala particularmente da recta, senón do segmento de recta.

Véxase tamén

Outros artigos

• Punto.
• Plano.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Line." From MathWorld (en inglés)