Pentágono

En xeometría, un pentágono (de penta, do grego que significa cinco: πεντάγωνον, de πεντά, "cinco" e γωνον, "ángulos") é un polígono de cinco lados.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pentágono (homónimos).

Pentágono regular.

Propiedades xeométricas

Os pentágonos regulares teñen as seguintes caracterísiticas:

• Tódolos seus ángulos internos miden 108º.
• Unindo os vértices do pentágono, obtense un pentagrama (estrela de 5 puntas) inscrito nel. No centro, queda outro pentágono regular, co que o proceso de inscribir pentagramas nos sucesivos pentágonos non ten fin matematicamente.
• Ao inscribir nun pentágono regular un pentagrama, pódese observar a razón áurea entre as lonxitudes dos segmentos resultantes.
• Pódese trazar empregando, unicamente, unha regra e un compás.

Trazado dun pentágono regular.

Área

A área dun pentágono regular de lado a pódese obter da seguinte fórmula:

${\displaystyle A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}}$

De forma xeral, se temos que o radio da circunferencia circunscrita é r_u

${\displaystyle A={\frac {5}{8}}\cdot r_{u}^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$

ou tamén:

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \operatorname {sen} {72^{\circ }}}$

Perímetro

Supoñendo que o pentágono ten un lado de lonxitude a:

${\displaystyle a=2\cdot r_{u}\cdot \cos 54^{\circ }}$

Ou tamén:

${\displaystyle a=r_{u}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}$

Para obter o perímetro P dun pentágono regular, multiplícase a lonxitude t dun dos seus lados por cinco (o número de lados n do polígono).

${\displaystyle P=n\cdot t=5\ t}$

Ángulos interiores

Imaxe do trazado dun pentágono regular inscrito nunha circunferencia.

A suma de tódolos ángulos interiores dun pentágono é 540°, i existe unha fórmula xeral para calcular os ángulos interiores de calquera polígono regular (no caso do pentágono n = 5):

${\displaystyle \sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}$

O ángulo entre dous lados dun pentágono pódese calcular mediante a seguinte fórmula, sempre que se trate dun polígono regular:

${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }}$