Media aritmética

A media aritmética ou termo medio dunha cantidade finita de números é igual á suma de todos eles dividida entre o número de sumandos. O termo de "media aritmética" é preferíbel en certos contextos, para podela distinguir doutros tipos de medias, como a media xeométrica ou a media harmónica.

Construción xeométrica para atopar as medias aritmética (A), cadrática (Q), xeométrica (G) e harmónica (H) de dous números a e b.

Outras medias estatísticas son: a media xeométrica, a media harmónica, a media cadrática, a media ponderada, a media aritmética, a media aritmética xeométrica e a media xeneralizada.

Definición

Dados os números a₁, a₂, ... , a_n, a media aritmética será igual a:

${\displaystyle {\bar {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}={\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}}$^[1]

Por exemplo, a media aritmética de 8, 5 e -1 é igual a (8 + 5 + (-1)) / 3 = 4.

Notación

O símbolo µ (letra mi (aínda que se adoita pronunciar coma mu) é usado para a media aritmética dunha poboación. Usamos X cunha barra horizontal sobre o símbolo para medias dunha mostra: ${\displaystyle {\overline {X}}}$.

Propiedades

A media aritmética posúe varias propiedades, entre as que achamos as seguintes:

• Se temos un conxunto de números ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, entón a media aritmética é o valor ${\displaystyle y}$ que minimiza a suma dos ${\displaystyle (x_{i}-y)^{2}}$. Isto é, a media aritmética minimiza o erro cadrático.
• Se sumamos unha constante a todos os números, a media aumenta coa mesma constante.
• Se multiplicamos por unha cantidade todos os números, a media fica multiplicada pola mesma cantidade.
• A media aritmética é un valor comprendido entre o máximo e o mínimo do conxunto, cumprindo a igualdade cando todos os valores son iguais.

${\displaystyle \min\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}\leq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\leq \max\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}}$^[2]

• O valor da media aritmética é maior ou igual ao da media xeométrica, e son iguais só se todos os valores son iguais.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1},x_{2},\dots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$^[2]

Notas

1. Freund & Wilson 2003, p. 20.
2. Bullen 1998, p. 22.

Véxase tamén

Bibliografía

• Freund, Rudolf J.; Wilson, William J. (2003). Statistical Methods (2ª ed.). Academic Press. ISBN 0-12-267651-3.
• Bullen, Peter (1998). A Dictionary of Inequalities. Chapman and Hall. ISBN 9780582327481.

Outros artigos

• Mediana
• Desviación estándar
• Valor esperado