En matemáticas, unha derivada parcial dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.
A derivada parcial dunha función f respecto á variable x represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:
Onde é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.
Cando unha magnitude é función de diversas variables (,,,), é dicir:
Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.
Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.
Introdución
Supoñamos que é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Grafico_3d_x2%2Bxy%2By2.png/320px-Grafico_3d_x2%2Bxy%2By2.png)
É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe x, e aquelas que son paralelas ao eixe y.
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/X2%2Bx%2B1.png/320px-X2%2Bx%2B1.png)
Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1, 1, 3) que é paralela o eixe x, tratamos a variable y como constante. O gráfico da función e o plano y = 1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano y = 1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de ƒ en (1, 1, 3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos:
no punto (1, 1, 3),
ou como "a derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) é 3."
Exemplos
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cone_3d.png/640px-Cone_3d.png)
- Considera o volume V dun cono, este depende da altura h do cono e o seu radio r de acordo coa fórmula
As derivadas parciais de V respecto a r e h son:
- Outro exemplo, dada a función tal que:
a derivada parcial de respecto de é:
mentres que con respecto de é:
Definición formal
Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde U é un subconxunto aberto de Rn e f : U → R unha función. Definimos derivada parcial de f no punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto á i-ésima variable xi como:
Ou visto respecto á derivada direccional:
onde é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva ().
Se todas as derivadas parciais existen no punto a, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen arredor de a e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda a. Neste caso, f é unha función C1.
Notación
Para o seguinte exemplo, f será unha función de x e y.
- Derivadas parciais de primeira orde:
Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:
Derivadas cruzadas de segunda orde:
Termodinámica
En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:
Que significa que e entón:
Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:
Xa que a forma precisa das funcións e é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.
Derivadas parciais de orde superior
Á súa vez, a derivada parcial pode verse como outra función definida en U e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a f unha función C2; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz.
En R2, se se cumpre o xa dito, asegúrase que:
Véxase tamén
Outros artigos
- Derivada
- Derivada total
- Derivada de Lie
- Derivada covariante
- Xacobiano
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.