On s'intéresse à un écoulement incompressible parallèle décrit par les équations de Navier-Stokes écrites en variables réduites faisant intervenir le nombre de Reynolds basé sur une longueur caractéristique L0 et une vitesse caractéristique U0 de l'écoulement
Démonstration
Partant du système de Navier-Stokes incompressible
où ν est la viscosité cinématique, on définit pour ce problème les quantités de référence suivantes: longueur L0 et vitesse U0 avec lesquelles on forme un nombre de Reynolds caractéristique du problème traité
Les variables sans dimension sont donc
Dans ce nouveau système l'opérateur gradient s'écrit
Il ne reste plus qu'à introduire ces quantités dans le système ci-dessus et multiplier par L0U0-2.
La suite ne concernant que les variables adimensionnées on ignorera les tildes sur les variables et le gradient sera noté sans indice.
Stabilité
On superpose à la condition initiale une perturbation d'amplitude faible
La nouvelle solution du système est (U, q) tel que
En tenant compte de |V'| << |V| et donc négligeant le système portant sur les perturbations s'écrit
Le système est
stable si |V'| est borné
pour tout tel que
asymptotiquement stable s'il est stable et que de plus
Équations de Rayleigh et de Orr-Sommerfeld
Pour ce qui suit on réduit l'étude de stabilité à un milieu plan parallèle tel que
Ainsi que le montre le théorème de Squire[5],[6], il n'est pas utile de prendre en compte la composante transverse.
L'équation sur les perturbations devient
Équation de Rayleigh
On se place d'abord dans le cas non visqueux et on introduit la fonction de courantψ tel que
Ce système se simplifie pour donner l'équation de Rayleigh (on suppose Ψ et u deux fois différentiables au moins)
L'instabilité impose que l'onde ne soit pas amortie et donc que la partie imaginaire de la vitesse de phase c = ω / k soit positive.
Cette équation doit être résolue avec les conditions aux limites représentatives du problème. Par exemple avec des parois en y1 et y2, on a
Le problème est un problème aux valeurs propres admettant des solutions pour des couples (k , ω), solutions de la relation de dispersionf (k , ω) = 0.
Équation de Orr-Sommerfeld
La même analyse que ci-dessus avec le terme visqueux pour un problème de Couette ou de Poiseuille conduit à l'équation
La relation de dispersion est ici f (k , ω , Re) = 0.
Par résolution numérique, on montre[7] qu'un écoulement de Poiseuille est instable pour Re > 5772.22. Au-delà de cette valeur et pour de très faibles perturbations des ondes de Tollmien-Schlichting apparaissent.
Pour un écoulement de Couette, aucune valeur de Re ne satisfait au critère d'instabilité linéaire.
Diagramme d'instabilité (Poiseuille)
Toutefois l'absence d'instabilité linéaire ne garantit pas la stabilité pour une perturbation d'amplitude finie[8],[9]. Par exemple un écoulement de Poiseuille est instable à partir de Re = 2900 pour une amplitude donnée (voir courbe).
(en) M. Eckert, «The troublesome birth of hydrodynamic
stability theory: Sommerfeld and the turbulence problem», The European Physical Journal H, vol.35, , p.29-51 (lire en ligne)
(en) W. Mc F. Orr, «The Stability or Instability of the Steady Motions of a Perfect Liquid and of a Viscous Liquid. Part I: A Perfect Liquid», Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences, vol.27, , p.9-68 (lire en ligne)
(en) W. Mc F. Orr, «The Stability or Instability of the Steady Motions of a Perfect Liquid and of a Viscous Liquid. Part II: A Viscous Liquid», Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences, vol.27, , p.69-138 (lire en ligne)
(de) A. Sommerfeld, «Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen», Proceedings of the 4th International
Congress of Mathematicians, Rome, vol.III, , p.116-124
(en) H. B. Squire, «On the stability for Three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls», Proceedings of the Royal Society Série A, vol.142, no847, , p.621-628 (lire en ligne)