Équation de Orr-Sommerfeld

Formulation

Résumé

Contexte

Variables réduites

On s'intéresse à un écoulement incompressible parallèle décrit par les équations de Navier-Stokes écrites en variables réduites faisant intervenir le nombre de Reynolds basé sur une longueur caractéristique L₀ et une vitesse caractéristique U₀ de l'écoulement

{\begin{array}{rcl}{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {V} }}}{\partial {\tilde {t}}}}+({\tilde {\mathbf {V} }}\cdot \nabla _{\tilde {x}}){\tilde {\mathbf {V} }}&=&-\nabla _{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}+{\frac {1}{Re}}\nabla _{\tilde {x}}^{2}{\tilde {\mathbf {V} }}\\[0.6em]\nabla _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }}&=&0\\[0.6em]{\tilde {\mathbf {V} }}(\mathbf {x} ,0)&=&{\tilde {\mathbf {V} }}_{0}(\mathbf {x} )\end{array}}

Démonstration

Partant du système de Navier-Stokes incompressible

{\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla _{x})\mathbf {V} &=&-{\frac {1}{\rho }}\nabla _{x}\,p+\nu \,\nabla _{x}^{2}\mathbf {V} \\[0.6em]\nabla _{x}\cdot \mathbf {V} &=&0\end{array}}

où $ν$ est la viscosité cinématique, on définit pour ce problème les quantités de référence suivantes : longueur L₀ et vitesse U₀ avec lesquelles on forme un nombre de Reynolds caractéristique du problème traité

Re={\frac {U_{0}L_{0}}{\nu }}

Les variables sans dimension sont donc

{\tilde {x}}={\frac {x}{L_{0}}}\,,\;\;\;{\tilde {\mathbf {V} }}={\frac {\mathbf {V} }{U_{0}}}\,,\;\;\;{\tilde {t}}={\frac {U_{0}t}{L_{0}}}\,,\;\;\;{\tilde {p}}={\frac {p}{\rho U_{0}^{2}}}

Dans ce nouveau système l'opérateur gradient s'écrit

\nabla _{\tilde {x}}=L_{0}\nabla _{x}

Il ne reste plus qu'à introduire ces quantités dans le système ci-dessus et multiplier par L₀U₀^-2.

La suite ne concernant que les variables adimensionnées on ignorera les tildes sur les variables et le gradient sera noté sans indice.

Stabilité

On superpose à la condition initiale une perturbation d'amplitude faible

\mathbf {V} (\mathbf {x} ,0)=\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )+\mathbf {V} '(\mathbf {x} )

La nouvelle solution du système est (U, q) tel que

\mathbf {U} =\mathbf {V} +\mathbf {V} '\,,\;\;\;q=p+p'

En tenant compte de |V'| << |V| et donc négligeant $(\mathbf {V} '\cdot \nabla )\mathbf {V} '$ le système portant sur les perturbations s'écrit

{\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \mathbf {V} '}{\partial t}}+(\mathbf {V} '\cdot \nabla )\mathbf {V} +(\mathbf {V} \cdot \nabla )\mathbf {V} '&\simeq &-\nabla \,p'+{\frac {1}{Re}}\,\nabla ^{2}\mathbf {V} '\\[0.6em]\nabla \cdot \mathbf {V} '&=&0\end{array}}

Le système est

stable si |V'| est borné

\sup _{\mathbf {x} ,t}|\mathbf {V} '|<\epsilon

pour tout

f(\epsilon )

tel que

\sup _{\mathbf {x} }|\mathbf {V} _{0}'|<f

asymptotiquement stable s'il est stable et que de plus

\lim \limits _{t\rightarrow \infty }|\mathbf {V} '|=0

Équations de Rayleigh et de Orr-Sommerfeld

Pour ce qui suit on réduit l'étude de stabilité à un milieu plan parallèle tel que $\mathbf {V} =(u,0,0)\,,\;\;\;\mathbf {V} '=(v_{1},v_{2},0)$

Ainsi que le montre le théorème de Squire^[5]^,^[6], il n'est pas utile de prendre en compte la composante transverse.

L'équation sur les perturbations devient

{\frac {\partial \mathbf {V} '}{\partial t}}+u\nabla \mathbf {V} '=-\nabla \,p'+{\frac {1}{Re}}\,\nabla ^{2}\mathbf {V} '

Équation de Rayleigh

On se place d'abord dans le cas non visqueux et on introduit la fonction de courant ψ tel que

v_{1}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}\,,\;\;\;v_{2}=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}

On recherche les solutions sous forme d'ondes de pulsation ω et de vecteur d'onde k

\Psi =\Phi (k,y,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}\,,\;\;\;p'=g(k,y,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}

Une double transformation de Fourier en x et t permet d'écrire

{\begin{array}{rcl}(\omega -uk){\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} y}}+k\Phi {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} y}}&=&kg\\[0.6em](\omega -uk)\Phi &=&{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} y}}\end{array}}

Ce système se simplifie pour donner l'équation de Rayleigh (on suppose Ψ et u deux fois différentiables au moins)

\left(u-{\frac {\omega }{k}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}-k^{2}\Phi \right)-\Phi {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=0

L'instabilité impose que l'onde ne soit pas amortie et donc que la partie imaginaire de la vitesse de phase c = ω / k soit positive.

Cette équation doit être résolue avec les conditions aux limites représentatives du problème. Par exemple avec des parois en y₁ et y₂, on a

\Phi (y_{1})=\Phi (y_{2})=0

Le problème est un problème aux valeurs propres admettant des solutions pour des couples (k , ω), solutions de la relation de dispersion f (k , ω) = 0.

Équation de Orr-Sommerfeld

La même analyse que ci-dessus avec le terme visqueux pour un problème de Couette ou de Poiseuille conduit à l'équation

(u-c)\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}-k^{2}\Phi \right)-\Phi {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {i} k\,Re}}\left({\frac {\mathrm {d} ^{4}\Phi }{\mathrm {d} y^{4}}}-2k^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}+k^{4}\Phi \right)

La relation de dispersion est ici f (k , ω , Re) = 0.

Par résolution numérique, on montre^[7] qu'un écoulement de Poiseuille est instable pour Re > 5772.22. Au-delà de cette valeur et pour de très faibles perturbations des ondes de Tollmien-Schlichting apparaissent.

Pour un écoulement de Couette, aucune valeur de Re ne satisfait au critère d'instabilité linéaire.

Références

[1]
(en) M. Eckert, « The troublesome birth of hydrodynamic stability theory: Sommerfeld and the turbulence problem », The European Physical Journal H, vol. 35,‎ 2010, p. 29-51 (lire en ligne)
[2]
(en) W. Mc F. Orr, « The Stability or Instability of the Steady Motions of a Perfect Liquid and of a Viscous Liquid. Part I: A Perfect Liquid », Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences, vol. 27,‎ 1907, p. 9-68 (lire en ligne)
[3]
(en) W. Mc F. Orr, « The Stability or Instability of the Steady Motions of a Perfect Liquid and of a Viscous Liquid. Part II: A Viscous Liquid », Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences, vol. 27,‎ 1907, p. 69-138 (lire en ligne)
[4]
(de) A. Sommerfeld, « Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen », Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians, Rome, vol. III,‎ 1908, p. 116-124
[5]
(en) H. B. Squire, « On the stability for Three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls », Proceedings of the Royal Society Série A, vol. 142, n^o 847,‎ 1933, p. 621-628 (lire en ligne)
[6]
(en) P. J. Schmid et D. S. Henningson, Stability and Transition in Shear Flows, Springer, 1985, 558 p. (ISBN 978-1-4612-6564-1, lire en ligne)
[7]
S. A. Orszag, « Accurate solution of the Orr–Sommerfeld stability equation », Journal of Fluid Mechanics, vol. 50, n^o 4,‎ 1996, p. 689-703 (DOI 10.1063/1.868919, Bibcode 1996PhFl....8.1424H)
[8]
(en) A. Georgescu, Hydrodynamic Stability Theory, Dordrecht/Boston/Lancaster, Martinus Nijhoff Publishers, 2001, 306 p. (ISBN 90-247-3120-8, lire en ligne)
[9]
(en) Paul Manneville, Instabilité, Chaos and Turbulence. An Introduction to Nonlinear Dynamics and Complex Systems, Imperial College Press, 2004, 391 p. (ISBN 1-86094-483-3, lire en ligne)

Formulation

Résumé

Contexte

Variables réduites

{\begin{array}{rcl}{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {V} }}}{\partial {\tilde {t}}}}+({\tilde {\mathbf {V} }}\cdot \nabla _{\tilde {x}}){\tilde {\mathbf {V} }}&=&-\nabla _{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}+{\frac {1}{Re}}\nabla _{\tilde {x}}^{2}{\tilde {\mathbf {V} }}\\[0.6em]\nabla _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }}&=&0\\[0.6em]{\tilde {\mathbf {V} }}(\mathbf {x} ,0)&=&{\tilde {\mathbf {V} }}_{0}(\mathbf {x} )\end{array}}

Démonstration

Partant du système de Navier-Stokes incompressible

{\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla _{x})\mathbf {V} &=&-{\frac {1}{\rho }}\nabla _{x}\,p+\nu \,\nabla _{x}^{2}\mathbf {V} \\[0.6em]\nabla _{x}\cdot \mathbf {V} &=&0\end{array}}

Re={\frac {U_{0}L_{0}}{\nu }}

Les variables sans dimension sont donc

{\tilde {x}}={\frac {x}{L_{0}}}\,,\;\;\;{\tilde {\mathbf {V} }}={\frac {\mathbf {V} }{U_{0}}}\,,\;\;\;{\tilde {t}}={\frac {U_{0}t}{L_{0}}}\,,\;\;\;{\tilde {p}}={\frac {p}{\rho U_{0}^{2}}}

Dans ce nouveau système l'opérateur gradient s'écrit

\nabla _{\tilde {x}}=L_{0}\nabla _{x}

Il ne reste plus qu'à introduire ces quantités dans le système ci-dessus et multiplier par L₀U₀^-2.

La suite ne concernant que les variables adimensionnées on ignorera les tildes sur les variables et le gradient sera noté sans indice.

Stabilité

On superpose à la condition initiale une perturbation d'amplitude faible

\mathbf {V} (\mathbf {x} ,0)=\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )+\mathbf {V} '(\mathbf {x} )

La nouvelle solution du système est (U, q) tel que

\mathbf {U} =\mathbf {V} +\mathbf {V} '\,,\;\;\;q=p+p'

En tenant compte de |V'| << |V| et donc négligeant $(\mathbf {V} '\cdot \nabla )\mathbf {V} '$ le système portant sur les perturbations s'écrit

{\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \mathbf {V} '}{\partial t}}+(\mathbf {V} '\cdot \nabla )\mathbf {V} +(\mathbf {V} \cdot \nabla )\mathbf {V} '&\simeq &-\nabla \,p'+{\frac {1}{Re}}\,\nabla ^{2}\mathbf {V} '\\[0.6em]\nabla \cdot \mathbf {V} '&=&0\end{array}}

Le système est

stable si |V'| est borné

\sup _{\mathbf {x} ,t}|\mathbf {V} '|<\epsilon

pour tout

f(\epsilon )

tel que

\sup _{\mathbf {x} }|\mathbf {V} _{0}'|<f

asymptotiquement stable s'il est stable et que de plus

\lim \limits _{t\rightarrow \infty }|\mathbf {V} '|=0

Équations de Rayleigh et de Orr-Sommerfeld

Pour ce qui suit on réduit l'étude de stabilité à un milieu plan parallèle tel que $\mathbf {V} =(u,0,0)\,,\;\;\;\mathbf {V} '=(v_{1},v_{2},0)$

Ainsi que le montre le théorème de Squire^[5]^,^[6], il n'est pas utile de prendre en compte la composante transverse.

L'équation sur les perturbations devient

{\frac {\partial \mathbf {V} '}{\partial t}}+u\nabla \mathbf {V} '=-\nabla \,p'+{\frac {1}{Re}}\,\nabla ^{2}\mathbf {V} '

Équation de Rayleigh

On se place d'abord dans le cas non visqueux et on introduit la fonction de courant ψ tel que

v_{1}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}\,,\;\;\;v_{2}=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}

On recherche les solutions sous forme d'ondes de pulsation ω et de vecteur d'onde k

\Psi =\Phi (k,y,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}\,,\;\;\;p'=g(k,y,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}

Une double transformation de Fourier en x et t permet d'écrire

{\begin{array}{rcl}(\omega -uk){\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} y}}+k\Phi {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} y}}&=&kg\\[0.6em](\omega -uk)\Phi &=&{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} y}}\end{array}}

Ce système se simplifie pour donner l'équation de Rayleigh (on suppose Ψ et u deux fois différentiables au moins)

\left(u-{\frac {\omega }{k}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}-k^{2}\Phi \right)-\Phi {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=0

L'instabilité impose que l'onde ne soit pas amortie et donc que la partie imaginaire de la vitesse de phase c = ω / k soit positive.

Cette équation doit être résolue avec les conditions aux limites représentatives du problème. Par exemple avec des parois en y₁ et y₂, on a

\Phi (y_{1})=\Phi (y_{2})=0

Le problème est un problème aux valeurs propres admettant des solutions pour des couples (k , ω), solutions de la relation de dispersion f (k , ω) = 0.

Équation de Orr-Sommerfeld

La même analyse que ci-dessus avec le terme visqueux pour un problème de Couette ou de Poiseuille conduit à l'équation

(u-c)\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}-k^{2}\Phi \right)-\Phi {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {i} k\,Re}}\left({\frac {\mathrm {d} ^{4}\Phi }{\mathrm {d} y^{4}}}-2k^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} y^{2}}}+k^{4}\Phi \right)

La relation de dispersion est ici f (k , ω , Re) = 0.

Pour un écoulement de Couette, aucune valeur de Re ne satisfait au critère d'instabilité linéaire.

Références

[1]
(en) M. Eckert, « The troublesome birth of hydrodynamic stability theory: Sommerfeld and the turbulence problem », The European Physical Journal H, vol. 35,‎ 2010, p. 29-51 (lire en ligne)
[2]
(en) W. Mc F. Orr, « The Stability or Instability of the Steady Motions of a Perfect Liquid and of a Viscous Liquid. Part I: A Perfect Liquid », Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences, vol. 27,‎ 1907, p. 9-68 (lire en ligne)
[3]
(en) W. Mc F. Orr, « The Stability or Instability of the Steady Motions of a Perfect Liquid and of a Viscous Liquid. Part II: A Viscous Liquid », Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences, vol. 27,‎ 1907, p. 69-138 (lire en ligne)
[4]
(de) A. Sommerfeld, « Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen », Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians, Rome, vol. III,‎ 1908, p. 116-124
[5]
(en) H. B. Squire, « On the stability for Three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls », Proceedings of the Royal Society Série A, vol. 142, n^o 847,‎ 1933, p. 621-628 (lire en ligne)
[6]
(en) P. J. Schmid et D. S. Henningson, Stability and Transition in Shear Flows, Springer, 1985, 558 p. (ISBN 978-1-4612-6564-1, lire en ligne)
[7]
S. A. Orszag, « Accurate solution of the Orr–Sommerfeld stability equation », Journal of Fluid Mechanics, vol. 50, n^o 4,‎ 1996, p. 689-703 (DOI 10.1063/1.868919, Bibcode 1996PhFl....8.1424H)
[8]
(en) A. Georgescu, Hydrodynamic Stability Theory, Dordrecht/Boston/Lancaster, Martinus Nijhoff Publishers, 2001, 306 p. (ISBN 90-247-3120-8, lire en ligne)
[9]
(en) Paul Manneville, Instabilité, Chaos and Turbulence. An Introduction to Nonlinear Dynamics and Complex Systems, Imperial College Press, 2004, 391 p. (ISBN 1-86094-483-3, lire en ligne)

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Stabilité

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Équation de Rayleigh

Équation de Orr-Sommerfeld

Instabilité non linéaire

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