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polyèdre régulier De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Pour les articles homonymes, voir Cube (homonymie).
En géométrie euclidienne, un cube est un prisme droit dont toutes les faces sont carrées donc égales et superposables. Le cube figure parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est le seul des cinq solides de Platon ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « hexaèdre régulier ». Le cube est un zonoèdre à trois générateurs.
| Cube | |
| |
| Type | Solide platonicien |
|---|---|
| Faces | 6 carrés |
| Arêtes | 12 |
| Sommets | 8 |
| Faces/sommet | 3 |
| Caractéristique | 2 |
| Symbole de Schläfli | {4,3} |
| Symbole de Wythoff | 3 | 2 4 |
| Diagramme de Coxeter-Dynkin |    
|
| Dual | Octaèdre régulier |
| Groupe de symétrie | Oh |
| Volume | a³ |
| Aire | 6a² |
| Angle dièdre | 90° |
| Propriétés | zonoèdre convexe |
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Comme il a quatre sommets par face et trois faces par sommet, son symbole de Schläfli est {4,3}.
L'étymologie du mot cube est grecque ; cube provient de kubos, le dé.
Le terme de cube, appliqué à un nombre, désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre était vu comme la surface d'un carré de côté le nombre initial et le cube d'un nombre comme le volume d'un cube de côté le nombre initial. L'expression « a3 » peut se lire « a au cube » et « a cube ».
Le 1-squelette du cube — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe appelé graphe hexaédrique.
Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. Pour sommets, on peut prendre par exemple les points de de coordonnées . De plus :
Mais par définition ses arêtes sont toutes de longueur égale, disons a. Ses faces sont donc des carrés d'aire a2.
C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre.
Il existe d'autres définitions équivalentes du cube :
Le groupe des isométries du cube, noté Oh, et le sous-groupe de ses isométries positives (ses rotations), noté O, sont aussi appelés groupes de symétrie octaédrique, parce que ce sont les mêmes que ceux de son polyèdre dual, l'octaèdre régulier.
Le cube est l'un des polyèdres offrant le plus de symétries :
Une isométrie du cube fixe son centre. Elle est donc entièrement définie par l'image d'un sommet A et de deux (B et C) de ses trois voisins (puisque ces trois points forment, avec le centre, un repère de l'espace). Le sommet A peut avoir pour image l'un quelconque, A', des 8 sommets du cube. Pour le sommet B, il y a alors 3 images possibles, parmi les trois voisins de A' puis, pour l'image de C, 2 images parmi les deux voisins restants. Ceci prouve que les isométries laissant le cube globalement invariant sont au nombre de 8 × 3 × 2 = 48, dont 24 rotations, une seule des deux images de C donnant la même orientation de A'B'C' par rapport à ABC. Les 24 rotations sont :
Le groupe O de ces 24 rotations est isomorphe au groupe symétrique S4. Une rotation quelconque permute en effet les quatre diagonales du cube, et inversement, une permutation quelconque des quatre diagonales définit une unique rotation.
Les isométries négatives du cube sont les antirotations composées de ces rotations par la symétrie centrale et commutent avec elle. Le groupe Oh est donc le produit direct interne du sous-groupe O par le sous-groupe cyclique d'ordre 2 engendré par la symétrie centrale. C'est le plus gros des 7 groupes orthogonaux de réseaux de dimension 3.
Les 24 isométries négatives sont respectivement :
Enfin, les huit sommets du cube peuvent se répartir en deux tétraèdres réguliers, symétriques l'un de l'autre par la symétrie centrale. Il en résulte que, sur les 48 isométries du cube, 24 laissent chacun de ces tétraèdres invariant, et 24 échangent les deux tétraèdres. Les 24 isométries du cube laissant les tétraèdres invariants forment le groupe des isométries du tétraèdre : 12 sont des rotations, et 12 des isométries indirectes. Ces 24 isométries permutent les quatre sommets du tétraèdre.
Il existe onze patrons du cube ; en voici quatre :
Un plan et un cube peuvent se rencontrer ou non. S'ils se rencontrent, leur intersection peut dessiner[1]
Le cube n'ayant que six faces, il n'est pas possible d'obtenir de section ayant plus de 6 côtés.
L'intersection d'un plan et d'un cube peut donner trois types de polygones réguliers:
Il n'est pas possible d'obtenir un pentagone régulier[1] car, la section ayant 5 côtés, le plan coupe nécessairement deux faces opposées du cube, la figure possède donc deux côtés parallèles, ce qui n'arrive pas dans le pentagone régulier. Il n'est pas possible d'obtenir une section sous forme de triangle rectangle[1] car tous les angles du triangle obtenu par section sont aigus. Il n'est pas possible d'obtenir de section qui soit un trapèze rectangle sans être un rectangle.
L'aire maximale d'une section du cube de côté a est[3] . Cette aire est obtenue par la section suivant un plan contenant deux arêtes opposées du cube.
Le dual du cube est l'octaèdre régulier. Ce qui explique que les deux solides possèdent le même groupe d'isométries.
Le cube s'inscrit dans un dodécaèdre régulier : les sommets du cube sont des sommets du dodécaèdre et les arêtes du cube sont formées de segments joignant deux sommets non consécutifs dans une face pentagonale du dodécaèdre. Il y a ainsi cinq façons d'inscrire un cube dans un dodécaèdre régulier.
On peut aussi inscrire le cube dans un dodécaèdre rhombique. Les sommets du cube correspondent aux sommets d'ordre 3 du dodécaèdre rhombique et les arêtes du cube correspondent aux diagonales des losanges.
Le cube a joué un rôle important dans la géométrie et la cosmologie grecque. Platon le classe comme le quatrième solide, le premier construit à l'aide de triangles isocèles rectangles :
« Groupés par quatre avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces triangles isocèles forment un quadrangle. Six de ces quadrangles en s'accollant ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits et la figure obtenue est un cube (Timée, 54c - 55 d) »
Comme chaque solide de Platon, le cube est associé à un élément. Comme élément le plus stable, il est associé à la Terre.
Dans une autre clé symbolique, il symbolise le monde matériel et l'ensemble des quatre éléments. Symbole de stabilité, il se trouve souvent à la base des trônes[4].
Le cube a été l'objet d'un problème qui s'est révélé insoluble : la duplication du cube à la règle et au compas.
Dans la cosmologie de Kepler, le cube est associé à la planète Saturne.
On retrouve aussi le cube dans la symbolique franc-maçonne. Le cube y symbolise les progrès que doit faire le compagnon pour passer de la pierre brute au solide parfait.
|Il a également inspiré de nombreuses œuvres d'art, donnant naissance à un mouvement artistique : le cubisme. Celles-ci peut aller jusqu'à représenter des corps difformes sous forme de carré (voir par exemple la Tête Carrée de Nice).
Cube fait partie d'une séquence de trois films canadiens. Apple a produit l'ordinateur Cube, Nintendo la console GameCube. Le Rubik's Cube est un casse-tête dont la réflexion se base sur des associations de couleur. Comprendre sa solution fait appel à un groupe de permutations.
On retrouve un cube tronqué dans le tableau Melencolia d'Albrecht Dürer. L'Atomium de Bruxelles est un cube. En effet, le cube est un des réseaux possibles en cristallographie pour l'argent, l'or, le cuivre, le platine, le diamant, le sel, entre autres.
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