Élément neutre

En mathématiques, plus précisément en algèbre, un élément neutre (ou élément identité) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu'il est composé avec eux par cette loi. Un magma possédant un élément neutre est dit unifère^[1].

Définition

Soit ${\displaystyle (E,\star )}$ un magma. Un élément ${\displaystyle e}$ de ${\displaystyle E}$ est dit :

• neutre à gauche si ${\displaystyle \forall x\in E,\ e\star x=x}$ ;
• neutre à droite si ${\displaystyle \forall x\in E,\ x\star e=x}$ ;
• neutre s'il est neutre à droite et à gauche.

Exemples

Un élément neutre est relatif à la loi considérée :

• 0 est l'élément neutre de l’addition arithmétique, ainsi que du « ou » binaire ;
• 1 est l'élément neutre de la multiplication arithmétique, ainsi que du « et » binaire ;
• La matrice unité d'ordre n est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées d'ordre n ;
• Le mot vide est l'élément neutre de la concaténation des chaînes de caractères.

Propriétés

• Il est possible que l'élément neutre à gauche (resp. à droite) ne soit pas unique. Par exemple, considérons un ensemble E contenant au moins deux éléments. On peut définir une loi G sur E par la formule G(x, y) = x et une loi D par la formule D(x, y) = y. Pour la loi G, tout élément est neutre à droite et aucun n'est neutre à gauche. Pour la loi D, tout élément est neutre à gauche et aucun n'est neutre à droite.
• En revanche, s'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors l'ensemble admet un unique élément neutre et en outre, tout élément neutre à gauche (resp. à droite) lui est égal. En effet, pour tous éléments e_g neutre à gauche et e_d neutre à droite, on a : e_d = e_ge_d = e_g.
  Dans cette situation — en particulier lorsque G est un groupe^[2],[3],[4] —, l'unique élément neutre de G est couramment appelé le neutre de G.
• Dans un groupe, le neutre est le seul élément idempotent, c'est-à-dire le seul élément x tel que x x = x.

Notes et références

1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. I, p. I-12.
2. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], Partie III : Groupes, Exemples 6.2.
3. Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1, p. 119, aperçu sur Google Livres.
4. Jean-Marie Monier, Méthodes et Exercices de Mathématiques MPSI, p. 213, aperçu sur Google Livres.

Voir aussi

• Anneau unifère
• Élément absorbant
• Élément symétrique
• Inverse
• Monoïde
• Quasigroupe

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