Théorème des nombres polygonaux de Fermat

En théorie additive des nombres, le théorème des nombres polygonaux de Fermat indique que tout entier strictement positif est une somme d'au plus ${\displaystyle k}$ nombres ${\displaystyle k}$-gonaux (non nuls), de la forme ${\displaystyle n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}}$.

C'est-à-dire que tout entier strictement positif peut être écrit comme la somme de trois nombres triangulaires ou moins, et comme la somme de quatre nombres carrés ou moins, et comme la somme de cinq nombres pentagonaux ou moins, et ainsi de suite.

Exemples

Par exemple, trois représentations du nombre 17, sont montrées ci-dessous :

• 17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires) ;
• 17 = 16 + 1 (nombres carrés) ;
• 17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).

Histoire

Le nom de ce théorème honore Pierre de Fermat, qui l'a énoncé sans preuve en 1638, promettant de le démontrer dans un travail séparé, qui n'est jamais paru^[1],[2]. Joseph-Louis Lagrange a démontré le cas carré en 1770 : c'est le théorème des quatre carrés de Lagrange, qui affirme que tout entier positif peut être représenté comme une somme de quatre carrés, par exemple, 7 = 4 + 1 + 1 + 1. Gauss a démontré le cas triangulaire en 1796, en commémorant l'occasion en écrivant dans son journal la ligne « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ »^[3],[2], et publié une preuve dans son livre Disquisitiones arithmeticae. Pour cette raison, le résultat de Gauss est parfois connu comme le théorème Eureka^[4]. Le théorème des nombres polygonaux a finalement été démontré par Cauchy en 1813^[5],[2]. La démonstration de Nathanson^[6] est fondée sur le lemme suivant de Cauchy :

Pour tous entiers naturels impairs a et b tels que b² < 4a et 3a < b² + 2b + 4, il existe des entiers positifs s, t, u et v tels que a = s² + t² + u² + v² et b = s + t + u + v.

Nombres nécessitant le maximum de termes dans leur décomposition

Décompositions en sommes de nombres triangulaires

Les nombres ${\displaystyle n}$ nécessitant trois nombres triangulaires dans leur décomposition en somme de tels nombres sont ${\displaystyle 5=1+1+3,8=1+1+6,14=1+3+10,17,19,23,26,\cdots }$. Gauss a démontré que la condition nécessaire et suffisante est qu'au moins un exposant d'un facteur premier congru à 3 modulo 4 de ${\displaystyle 4n+3}$ ait un exposant impair dans la décomposition de ce dernier. Ils forment la suite A020757 de l'OEIS.

Décompositions en sommes de carrés

Les nombres ne pouvant pas s'écrire comme somme de moins de quatre carrés non nuls sont ${\displaystyle 7=1+1+1+4,15=1+21+9+4,23=1+4+9+9,28,31,39,47,55,60,\cdots }$. Gauss a démontré que ces nombres sont ceux de la forme ${\displaystyle 4^{a}(8k+7)}$ avec ${\displaystyle a,k}$ entiers naturels. Ils forment la suite A004215 de l'OEIS.

Décompositions en sommes de nombres pentagonaux

On ne connait que six entiers ne pouvant pas s'écrire comme somme de moins de cinq nombres pentagonaux : ${\displaystyle 9=1+1+1+1+5,21=1+5+5+5+5,31=1+1+5+12+12,43=1+1+1+5+35,55=1+1+1+1+51,89=1+1+1+35+51}$. On conjecture qu'il n'y en a pas d'autres, voir la suite A133929 de l'OEIS.

Décompositions en sommes de nombres hexagonaux

Seuls ${\displaystyle 11=1+1+1+1+1+6{\text{ et }}26=1+1+6+6+6+6}$ nécessitent six termes pour être écrits comme somme de nombres hexagonaux. En fait, tout entier ${\displaystyle n}$ > 130 peut être exprimé comme somme d'au plus quatre nombres hexagonaux ; Adrien-Marie Legendre l'avait démontré en 1830 pour ${\displaystyle n}$ > 1791 (voir la suite A007527 de l'OEIS).

On conjecture que pour tout ${\displaystyle k\geqslant 5}$, il n'existe qu'un nombre fini de décompositions nécessitant ${\displaystyle k}$ termes^[7],[8].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fermat polygonal number theorem » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Sir Thomas Little Heath, Diophantus of Alexandria; A Study in the History of Greek Algebra, Cambridge University Press, 1910 (lire en ligne), p. 188.
2. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers : Fermat's polygonal number theorem, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 313-376
3. (en) Eric Temple Bell, « Gauss, the Prince of Mathematicians », dans James R. Newman, The World of Mathematics, vol. I, Simon & Schuster, 1956, p. 295-339. Dover reprint, 2000, (ISBN 0-486-41150-8).
4. (en) Ken Ono, Sinai Robins et Patrick T. Wahl, « On the representation of integers as sums of triangular numbers », Aequationes Mathematicae, vol. 50, n^os 1-2,‎ 1995, p. 73-94 (DOI 10.1007/BF01831114, MR 1336863).
5. Mém. Sc. Math. et Phys. de l’Institut de France, (I), 14, 1813-15, pp. 177-220 ; également dans Exercices de Math., Paris, 1, 1826, 265-296. Repris dans Œuvres de Cauchy, (2), VI, pp. 320-353. Journal des Mines, 38, 1815, p. 395. Rapport de Cauchy, Bull. Sc. par Soc. Philomatique de Paris, (3), 2, 1815, p. 196-7.
6. (en) Melvyn B. Nathanson, « A short proof of Cauchy's polygonal number theorem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 99, n^o 1,‎ 1987, p. 22-24 (DOI 10.2307/2046263, MR 866422).
7. Michel Criton, « De Fermat à Cauchy », Hors série Tangente, vol. 91,‎ septembre 2024, p. 46 (lire en ligne)
8. (en) Richard K. Guy, « Every Number is Expressible as the Sum of How Many Polygonal Numbers? », The American Mathematical Monthly, vol. 101,‎ feb., 1994, p. 169-172 (lire en ligne )

Voir aussi

Articles connexes

• Conjectures de Pollock
• Problème de Waring

Bibliographie

(en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin, Springer, 1996 (ISBN 978-0-387-94656-6), chap. 1 — Contient des preuves du théorème de Lagrange et du théorème des nombres polygonaux.

• Arithmétique et théorie des nombres