Théorème de Engel

Le théorème de Engel porte sur la structure des algèbres de Lie. Sommairement, il affirme que les deux notions de nilpotence que l'on peut définir pour une algèbre de Lie coïncident.

Rappelons qu'une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est dite nilpotente si la suite définie par récurrence par ${\displaystyle C_{i}}$ par ${\displaystyle C_{0}={\mathfrak {g}}}$ et ${\displaystyle C_{i+1}=[C_{i},{\mathfrak {g}}]}$ finit par arriver à 0, autrement dit s'il existe un i tel que ${\displaystyle C_{i}=\{0\}}$.

Rappelons également qu'un endomorphisme A d'un espace vectoriel est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que Aⁿ = 0.

Si ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$, on note ad(x) l'endomorphisme de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ défini par ad(x)(y) = [x, y]. On dit que x est ad-nilpotent si ad(x) est nilpotent. Il découle facilement de la définition que si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est une algèbre de Lie nilpotente, alors tout élément de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est ad-nilpotent.

Le théorème de Engel s'énonce alors comme suit :

Théorème — Si tous les éléments d'une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de dimension finie sont ad-nilpotents, alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est nilpotente.

Ce théorème découle en fait du résultat de trigonalisation suivant, que certains auteurs appellent également théorème de Engel :

Théorème — Soient ${\displaystyle V}$ un espace vectoriel de dimension finie et ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une sous-algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$. On suppose que tous les éléments de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sont nilpotents. Alors il existe une base de V dans laquelle tous les éléments de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sont des matrices triangulaires supérieures (strictes).

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Lie
• Théorème de Lie-Kolchin
• Groupe de Engel (en)

Bibliographie

• (en) Thomas Hawkins, Emergence of the Theory of Lie Groups : An Essay in the History of Mathematics, 1869-1926, Springer, 2000, 566 p. (ISBN 978-0-387-98963-1, lire en ligne), p. 176-178

Relate l'échange de correspondance entre Friedrich Engel et Wilhelm Killing, en particulier la lettre du 20 juillet 1890 dans laquelle Engel ébauche la preuve de ce théorème.

• (de) Karl Arthur Umlauf, Über die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen, insbesondre der Gruppen vom Range Null, Leipzig, Breitkopf & Härtel, 1891 (lire en ligne)

Thèse dans laquelle cet étudiant de Engel rédige la preuve en détail.

• (en) Joachim Hilgert et Karl-Hermann Neeb, Structure and Geometry of Lie Groups, Springer, 2011, 746 p. (ISBN 978-0-387-84793-1, lire en ligne), p. 93-95

Énoncé et démonstration des deux théorèmes + contre-exemple en dimension infinie.

• (en) Karin Erdmann et Mark J. Wildon, Introduction to Lie algebras, Londres, Springer-Verlag London Ltd., coll. « Springer Undergraduate Mathematics Series », 2006, 251 p. (ISBN 978-1-84628-040-5, DOI 10.1007/1-84628-490-2, MR 2218355).

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