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théorème d'analyse De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue.
Soient
Alors[1], il existe une solution
On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en par des demi-intervalles d'extrémité [2].
N. B. Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici[3].
Les exemples suivants sont donnés par Peano[4].
L'équation où le second membre est continu en sans être lipschitzien, admet les solutions et qui s'annulent toutes les deux en ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle et qui prennent la valeur pour .
L'équation , toujours avec la condition , admet les cinq solutions ( étant une constante arbitraire positive) :
On construit par la méthode d'Euler une suite de fonctions M-lipschitziennes affines par morceaux
qui sont des « solutions approchées » de ce problème de Cauchy au sens où pour tout entier n > 0,
(pour tout point t en lequel xn est dérivable).
Le théorème d'Ascoli permet d'en extraire une sous-suite uniformément convergente. On montre alors (en utilisant la continuité uniforme de f) que la limite x vérifie
D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, x est donc une « solution exacte » du problème de Cauchy.
La généralisation « naïve » de l'énoncé aux espaces de dimension infinie est drastiquement fausse :
Cependant, le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà se généralise en remplaçant par un espace de Banach, à condition d'ajouter l'hypothèse (redondante en dimension finie) que l'application continue est compacte. Pour le démontrer[7], on utilise encore le théorème d'Ascoli, mais aussi le théorème du point fixe de Schauder.
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