Théorème d'arrêt de Doob

Le théorème d'arrêt de Doob est un résultat important en théorie des probabilités : il permet, par exemple, d'obtenir des renseignements, parfois explicites, sur la loi des temps d'atteinte. Le théorème d'arrêt de Doob est dû à Joseph Leo Doob.

Énoncé

On considère un processus stochastique ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} }}$.

Théorème —  (a) Supposons que X est une surmartingale, et que T est un temps d'arrêt. Alors, dès que l'un des 3 ensembles d'hypothèses ci-dessous est satisfait :

(i) T est borné (i.e. il existe un entier N tel que, pour presque tout tout ω, ${\displaystyle T(\omega )\leq N}$) ;

(ii) X est borné (i.e. il existe un réel K tel que, pour tout n et presque tout ω, ${\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq K}$) et, de plus, T est presque sûrement fini;

(iii) T est intégrable, et il existe un réel K tel que pour tout n et presque tout ω,

${\displaystyle \qquad |X_{n}(\omega )-X_{n-1}(\omega )|\leq K;}$

il suit que X_T est intégrable, et que

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{T}]\leq \mathbb {E} [X_{0}].}$

(b) Si n'importe lequel parmi les 3 ensembles de conditions (i) ... (iii) est satisfait et si X est une martingale, alors

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{T}]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

Bibliographie

• (en) David Williams, Probability with martingales, Cambridge, Cambridge University Press, 1991, 1^re éd., 266 p. (ISBN 0-521-40455-X), p. 100.

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