Tenseur de Cotton-York

En géométrie riemannienne, le tenseur de Cotton-York ou tenseur de Cotton est un tenseur principalement utilisé dans les espaces tridimensionnels, car dans de tels espaces, il possède la propriété d'être nul si et seulement si l'espace est conformément plat.

Le tenseur de Cotton-York tire son nom des mathématiciens Émile Cotton et James W. York^[1]. Certains résultats de Cotton ont été retrouvés indépendamment par York, ce qui justifie l'usage de l'une ou l'autre de ces appellations (Cotton et Cotton-York).

Formule

Le tenseur de Cotton-York s'écrit, en termes de composantes,

${\displaystyle R_{abc}=D_{c}R_{ab}-D_{b}R_{ac}+{\frac {1}{4}}\left(g_{ac}D_{b}R-g_{ab}D_{c}R\right)}$,

où g_ab représente la métrique de l'espace considéré, R la courbure scalaire, R_ab le tenseur de Ricci et D la dérivée covariante associée à la métrique.

Propriétés

Par construction, le tenseur de Cotton-York est antisymétrique par rapport à ses deux derniers indices et s'annule par sommation des permutations circulaires de ces indices :

${\displaystyle R_{abc}=-R_{acb}}$,

${\displaystyle R_{abc}+R_{bca}+R_{cab}}$.

La contraction sur ses deux premiers indices est également nulle dans les espaces tridimensionnels :

${\displaystyle R^{a}{}_{ac}=0}$

Démonstration

Cette contraction s'écrit, dans un espace à trois dimensions (où g_ab g^ab = 3)

${\displaystyle R^{a}{}_{ac}=D_{c}R-D_{a}R_{c}^{a}+{\frac {1}{4}}\left(D_{c}R-3D_{c}R\right)}$,

ce qui donne

${\displaystyle R^{a}{}_{ac}=-D_{a}R_{c}^{a}+{\frac {1}{2}}D_{c}R}$,

qui est identiquement nul en raison de l'identité de Bianchi.

 

Nombre de composantes indépendantes

Le tenseur de Cotton-York possède a priori 27 composantes indépendantes ; l'antisymétrie sur les deux derniers indices réduit ce nombre à neuf, et la contraction sur les deux premiers induit trois contraintes supplémentaires, soit six composantes indépendantes. La contrainte sur les permutations circulaires introduit, toujours à trois dimensions, une contrainte supplémentaire, ce qui laisse finalement cinq composantes indépendantes, soit seulement une de moins que le tenseur de Riemann qui, à trois dimensions, possède six composantes indépendantes.

Forme duale

Du fait de l'antisymétrie des deux dernières composantes du tenseur, on peut lui associer son tenseur dual au sens de la dualité de Hodge, défini par

${\displaystyle C^{ab}=2\epsilon ^{acd}D_{b}\left(R_{c}^{b}-{\frac {1}{4}}\delta _{c}^{b}R\right)}$,

où ε est le tenseur de Levi-Civita complètement antisymétrique par rapport à ses trois indices.

Certains auteurs réservent le nom de tenseur de Cotton à la première définition de R_abc et celle de tenseur de Cotton-York à celle ci-dessus.

Notes

1. (fr) Émile Cotton, Sur les variétés à trois dimensions, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse II, 1, 385-438 (1899) Voir en ligne ; (en) James W. York, Gravitational Degrees of Freedom and the Initial-Value Problem, Physical Review Letters, 26, 1656-1658 (1972) Voir en ligne.

Références

• (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), pages 55.

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