Tau de Kendall

En statistique, le tau de Kendall (ou ${\displaystyle \tau }$ de Kendall) est une statistique qui mesure l'association entre deux variables. Plus spécifiquement, le tau de Kendall mesure la corrélation de rang entre deux variables. Elle est nommée ainsi en hommage à Maurice Kendall qui en a développé l'idée dans un article de 1938^[1] bien que Gustav Fechner ait proposé une idée similaire appliquée aux séries temporelles dès 1897^[2].

Tau de Kendall

Type	Statistique, coefficient de corrélation (en), concept mathématique (en), corrélation
Inventeurs	Maurice Kendall, Gustav Fechner
Date d'invention	1938
Nommé en référence à	Maurice Kendall

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Définition

Soit ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})}$ un ensemble d'observations des variables jointes ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ tel que les valeurs des ${\displaystyle (x_{i})}$ et ${\displaystyle (y_{i})}$ sont uniques. Les paires d'observations ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ et ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ sont dites concordantes si ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ et ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$ ou si ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ et ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$. Elles sont dites discordantes si ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ et ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$ ou si ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ et ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$. Dans le cas où ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ou ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$, la paire n'est ni concordante ni discordante.

Le tau de Kendall est alors défini comme :

${\displaystyle \tau ={\frac {({\text{nombre de paires concordantes}})-({\text{nombre de paires discordantes}})}{{\frac {1}{2}}\cdot n\cdot (n-1)}}.}$^[3]

Propriétés

Le dénominateur étant le nombre total de paires, la valeur de ${\displaystyle \tau }$ est comprise entre -1 et 1. Si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont indépendantes, il est attendu que la valeur de tau soit approximativement égale à zéro.

Voir aussi

• Corrélation (statistiques)
• D'autres mesures de corrélation basées sur les rangs sont le rho de Spearman et le Gamma.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kendall's_tau_rank_correlation_coefficient » (voir la liste des auteurs).

1. Kendall 1938
2. (en) W.H. Kruskal, « Ordinal Measures of Association », Journal of the American Statistical Association, vol. 53, n^o 284,‎ 1958, p. 814–861 (DOI doi:10.2307/2281954, JSTOR 2281954)
3. (en) « Kendall tau metric », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Bibliographie

• (en) Maurice Kendall, « A New Measure of Rank Correlation », Biometrika, vol. 30, n^os 1–2,‎ 1938, p. 81–89 (DOI doi:10.1093/biomet/30.1-2.81, JSTOR 2332226).

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