Sous-groupe sous-normal

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant.

Définition formelle

Formellement, ${\displaystyle H}$ est ${\displaystyle k}$-sous-normal dans ${\displaystyle G}$ s'il existe des sous-groupes

${\displaystyle H=H_{0},H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}=G}$

de ${\displaystyle G}$ tels que ${\displaystyle H_{i}}$ est normal dans ${\displaystyle H_{i+1}}$ pour chaque ${\displaystyle i}$.

Un sous-groupe sous-normal est un sous-groupe qui est ${\displaystyle k}$-sous-normal pour un entier positif ${\displaystyle k}$.

Historique

Le concept de sous-groupe sous-normal a été introduit sous le nom 'nachinvariante Untergruppe par Helmut Wielandt dans sa thèse d'habilitation en 1939^[1]. Wielandt a notamment prouvé que dans un groupe de longueur finie (en particulier fini), le sous-groupe engendré par deux sous-groupes sous-normaux est lui-même sous-normal, donc dans ce cas, que les sous-groupes sous-normaux forment un treillis.

Exemple

Le sous-groupe ${\displaystyle Z=\{e,((12)(34))\}}$ du groupe symétrique ${\displaystyle S_{4}}$ est un sous-groupe normal du groupe de Klein ${\displaystyle V}$ qui lui-même est un sous-groupe normal de ${\displaystyle S_{4}}$. Ainsi, ${\displaystyle Z}$ est un sous-groupe sous-normal de${\displaystyle S_{4}}$, sans être un sous-groupe normal puisque ${\displaystyle ((12)(34))^{(123)}=(13)(24)}$ n'est pas dans ${\displaystyle Z}$.

Propriétés

Quelques exemples et résultats sur les sous-groupes sous-normaux :

• Un sous-groupe 1-sous-normal est un sous-groupe normal propre, et réciproquement.
• Un groupe de type fini est un nilpotent si et seulement si tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
• Un sous-groupe quasi-normal (en) et plus généralement un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués d'un groupe fini est sous-normal.
• Un sous-groupe pronormal (en) qui est aussi sous-normal est un sous-groupe normal. En particulier, un sous-groupe de Sylow est sous-normal si et seulement s'il est normal.
• Un sous-groupe 2-sous-normal est un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués.

La relation de sous-normalité est transitive : en d'autres termes, un sous-groupe sous-normal d'un sous-groupe sous-normal est sous-normal. La relation de sous-normalité peut donc être définie comme la fermeture transitive de la relation de normalité.

Articles liés

• Sous-groupe caractéristique
• Cœur d'un sous-groupe

Notes et références

1. « Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 45,‎ 1939), p. 209-244 (lire en ligne).

• (de)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en allemand « Subnormalteiler » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Subnormal subgroup » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Derek J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1996, 499 p. (ISBN 978-0-387-94461-6, lire en ligne)
• Adolfo Ballester-Bolinches, Ramon Esteban-Romero et Mohamed Asaad, Products of Finite Groups, Walter de Gruyter, 2010, 346 p. (ISBN 978-3-11-022061-2, lire en ligne)

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