Solitaire bulgare

En mathématiques, le solitaire bulgare est un jeu de cartes popularisé par Martin Gardner^[1] en 1983.

Principe

On pose ${\displaystyle N}$ cartes en plusieurs piles. Puis, à chaque tour, on prend une carte de chaque pile (en ignorant les piles ne contenant plus de cartes) pour en former une nouvelle.

Propriétés

Si ${\displaystyle N}$ est un nombre triangulaire (c'est-à-dire ${\displaystyle N=1+\dots +k}$ pour un certain ${\displaystyle k}$), alors le solitaire bulgare atteint en au plus ${\displaystyle k^{2}-k}$ coups la configuration stable qui consiste en des piles de ${\displaystyle 1,\dots ,k}$ cartes.

Si ${\displaystyle N=1+\dots +k+r}$ avec ${\displaystyle 1\leq r\leq k}$ n'est pas un nombre triangulaire, le solitaire bulgare n'atteint pas un état stable mais un cycle limite de période ${\displaystyle k+1}$^[2].

Solitaire bulgare aléatoire

Un solitaire bulgare aléatoire ou solitaire bulgare stochastique est la chaine de Markov finie que l'on obtient en prenant pour chaque pile une de ses cartes avec probabilité ${\displaystyle p\in ]0,1]}$. Le solitaire bulgare classique correspond à ${\displaystyle p=1}$.

En 2004, le probabiliste Serguei Popov (en) démontra que le solitaire bulgare aléatoire suit la plupart du temps une distribution à peu près triangulaire^[3].

Notes et références

1. (en) Vesselin Drensky, « The Bulgarian solitaire and the mathematics around it », Математика и математическо образование,‎ 2015 (ISSN 1313-3330, lire en ligne)
2. (en) Ethan Akin et Morton Davis, « Bulgarian Solitaire », The American Mathematical Monthly,‎ avril 1985 (ISSN 0002-9890, lire en ligne)
3. (en) Serguey Popov, « Random Bulgarian Solitaire », Random Structures & Algorithms,‎ 15 juin 2005 (ISSN 1098-2418, lire en ligne)

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