Série L de Dirichlet

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Série L de Dirichlet

En mathématiques, une série L de Dirichlet est une série du plan complexe utilisée en théorie analytique des nombres.

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue en une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Elle est construite à partir d'un caractère de Dirichlet et, dans le cas du caractère trivial, la fonction L de Dirichlet est la fonction zêta de Riemann.

Elle est nommée ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, qui l'a utilisée pour démontrer son théorème de la progression arithmétique.

Définition

Soit χ un caractère de Dirichlet. La série L de Dirichlet associée, notée L(s, χ), est définie par :

.

Relation avec la fonction zêta de Hurwitz et prolongement analytique

Résumé
Contexte

La série L de Dirichlet associée à un caractère modulo N est une combinaison linéaire des séries zêta de Hurwitz pour q = j/N avec j = 1, 2, … , N.

Plus précisément, soit χ un caractère modulo N. Alors,

.

Par conséquent, de même que les séries , la série

  • converge sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 ;
  • se prolonge analytiquement sur le plan complexe en une fonction méromorphe avec au plus un pôle, simple, au point 1. Ce prolongement est appelé fonction L de Dirichlet et est encore noté , et son résidu au point 1 est :
    .

En particulier, la fonction L de Dirichlet du caractère trivial (N = 1) est la fonction zêta de Riemann , dont le résidu au point 1 est, comme celui de toutes les fonctions zêta de Hurwitz, égal à 1.

Comportement au point un

Résumé
Contexte

Le comportement des séries au point 1 est la clé du théorème de la progression arithmétique. C'est la raison pour laquelle Dirichlet définit ces séries.

  • Le point 1 est un pôle de la fonction L pour le caractère principal, mais pas pour les autres caractères[1].

Zéros des fonctions L de Dirichlet

Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = 1, alors les seuls zéros de L(s, χ) avec Re(s) < 0 sont les entiers pairs négatifs. Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = –1, alors les seuls zéros de L(s, χ) avec Re(s) < 0 sont les entiers impairs négatifs.

Hormis l'existence possible d'un zéro de Siegel, beaucoup de résultats similaires à la fonction zêta de Riemann sont connus sur les régions sans zéro de toutes les fonctions L de Dirichlet, à gauche de la droite Re(s) = 1.

L'hypothèse de Riemann généralisée est la généralisation aux fonctions L de Dirichlet de l'hypothèse de Riemann sur la fonction zêta.

Équation fonctionnelle

Résumé
Contexte

Supposons que χ est un caractère primitif de module k. Définissant

Γ désigne la fonction gamma et le symbole a est donné par

on a l'équation fonctionnelle

τ désigne la somme de Gauss :

Remarque : |τ(χ)| = k1/2.

Exemples

Résumé
Contexte

Fonction zêta de Riemann

Pour le caractère trivial, on retrouve la fonction zêta de Riemann :

Fonction lambda de Dirichlet

Fonction bêta de Dirichlet

Notes et références

Voir aussi

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