Antirotation

En géométrie, une antirotation est un type particulier d'antidéplacement (c.-à-d. d'isométrie qui renverse l'orientation) de l'espace euclidien de dimension 3 (espace affine euclidien ou espace vectoriel euclidien, suivant le contexte) : c'est la composée de deux transformations qui commutent : une rotation d'angle ${\displaystyle \theta }$ autour d'un axe ${\displaystyle \Delta }$ et d'une réflexion par rapport à un plan ${\displaystyle \Pi }$ perpendiculaire à cet axe, ce qui lui vaut aussi le nom de roto-réflexion, ou rotation-réflexion.

En remarquant que

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos(\theta +\pi )&-\sin(\theta +\pi )&0\\\sin(\theta +\pi )&\cos(\theta +\pi )&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$^[1],

on peut aussi voir une antirotation d'angle ${\displaystyle \theta }$ comme la composée de la rotation d'axe ${\displaystyle \Delta }$ et d'angle ${\displaystyle \theta +\pi }$ (ou d'axe opposé et d'angle ${\displaystyle \pi -\theta }$) et de la symétrie centrale (notion à ne pas confondre avec celle d'inversion géométrique) par rapport au point d'intersection de ${\displaystyle \Delta }$ et ${\displaystyle \Pi }$ (à nouveau, ces deux transformations commutent). Dans ce cas, on parle de roto-inversion d'angle ${\displaystyle \theta +\pi }$^[2],[1].

On parle parfois aussi de rotation impropre^{[réf. nécessaire]}.

Notes et références

1. Dieter Schwarzenbach et Gervais Chapuis, Cristallographie, PPUR, 2006 (lire en ligne), p. 32.
2. (en) Theo Hahn et Hans Wondratschek, Symmetry of Crystals : Introduction to International Tables for Crystallography Vol. A, Heron Press Ltd., 1994 (ISBN 954-580-007-0).

Article connexe

Groupe ponctuel de symétrie

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