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problème algorithmique classique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
La recherche des plus proches voisins, ou des k plus proches voisins, est un problème algorithmique classique. De façon informelle le problème consiste, étant donné un point à trouver, dans un ensemble d'autres points, quels sont les k plus proches.
La recherche de voisinage est utilisée dans de nombreux domaines, tels la reconnaissance de formes, le clustering, l'approximation de fonctions, la prédiction de séries temporelles et même les algorithmes de compression (recherche d'un groupe de données le plus proche possible du groupe de données à compresser pour minimiser l'apport d'information). C'est en particulier l'étape principale de la méthode des k plus proches voisins en apprentissage automatique.
La formulation classique du problème est la suivante. Étant donné un ensemble A de n points, dans un espace métrique E, un entier k plus petit que n, et un point supplémentaire x, trouver les k points de A les plus proches de x.
Un cas classique est celui de la recherche du plus proche voisin, c'est-à-dire le cas k=1. Une hypothèse classique est que l'espace sous-jacent E est un espace vectoriel de dimension bornée.
L'algorithme naïf de recherche de voisinage consiste à passer sur l'ensemble des n points de A et à regarder si ce point est plus proche ou non qu'un des plus proches voisins déjà sélectionné, et si oui, l'insérer. On obtient alors un temps de calcul linéaire en la taille de A : O(n) (tant que k << n). Cette méthode est appelée la recherche séquentielle ou recherche linéaire.
Algorithme naïf :
pour i allant de 1 à k mettre le point D[i] dans proches_voisins fin pour pour i allant de k+1 à n si la distance entre D[i] et x est inférieure à la distance d'un des points de proches_voisins à x supprimer de proches_voisins le point le plus éloigné de x mettre dans proches_voisins le point D[i] fin si fin pour proches_voisins contient les k plus proches voisins de x
La recherche linéaire souffre d'un problème de lenteur. Si l'ensemble A est grand, il est alors extrêmement coûteux de tester les n points de l'espace.
Les optimisations de cet algorithme se basent souvent sur des cas particuliers du problème. Le plus souvent, l'optimisation consiste à effectuer au préalable un algorithme (pré-traitement) pouvant avoir une complexité supérieure à O(n) mais permettant d'effectuer par la suite très rapidement un grand nombre de recherches. Il s'agit alors de trouver un juste milieu entre le temps de pré-calculs et le nombre de recherches qui auront lieu par la suite.
Il existe des algorithmes efficaces de recherche lorsque la dimension D est petite (inférieure à ~15). La structure la plus connue est l'arbre k-d, introduite en 1975[1].
Un problème majeur de ces méthodes est de souffrir de la malédiction de la dimension : lorsque la dimension D est trop grande, ces méthodes ont des performances comparables ou inférieures à une recherche linéaire[2].
La recherche des plus proches voisins d'un point C dans un arbre k-d se fait de la manière suivante :
On remplace les points de l'espace E par une empreinte, typiquement un nombre, calculée par une fonction de hachage. Plutôt que de faire une recherche par les m coordonnées (pour un espace E à m dimensions), on fait une recherche des plus proches voisins par la valeur de l'empreinte. On fait des recherches sur plusieurs empreintes, en utilisant une famille de fonctions de hachage, jusqu'à trouver un candidat statistiquement satisfaisant.
Concernant un espace géométrique :
L'espace peut aussi être un espace abstrait : si un objet est représenté par un nombre m de paramètres chiffrés, on peut représenter cet objet par un point dans l'espace à m dimensions, l'algorithme permet alors de trouver le ou les objets ayant les propriétés les plus proches. Il peut par exemple s'agir de trouver le meilleur candidat de substitution à un objet donné, le meilleur candidat pour une application donnée (plus proche voisin de l'objet idéal), ou bien trouver l'objet correspondant le mieux à une empreinte relevée (identification, enquête).
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