Rayon spectral

Soit ${\displaystyle A}$ un endomorphisme sur un espace de Banach complexe ${\displaystyle E}$, on appelle rayon spectral de ${\displaystyle A}$, et on note ${\displaystyle \rho (A)}$, le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de ${\displaystyle A}$. Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de ${\displaystyle A}$.

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}}$, le rayon spectral est égal à ${\displaystyle \max _{i}{\left|\lambda _{i}\right|}}$.

Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ (respectivement ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$) et pour toute matrice A dans ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ (respectivement ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$), ${\displaystyle \rho (A)\leq N(A)}$.

Démonstration

Soit ${\displaystyle \lambda }$ une valeur propre de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle X}$ un vecteur propre associé. Notons ${\displaystyle B}$ la matrice carrée dont la première colonne est ${\displaystyle X}$ et les autres sont nulles. On a ${\displaystyle AB=\lambda B}$ donc ${\displaystyle |\lambda |N(B)=N(AB)\leq N(A)N(B)}$ et l'on peut simplifier par ${\displaystyle N(B)}$ car le vecteur ${\displaystyle X}$ étant non nul, il en est de même de la matrice ${\displaystyle B}$.

De plus, on montre que ${\displaystyle \rho (A)=\inf N(A)}$, la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre.

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral ${\displaystyle \rho (A)}$ d'un endomorphisme ${\displaystyle A}$ est donné par la formule ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{+\infty }\|A^{n}\|^{1/n}}$.

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, ${\displaystyle \|A\|^{2}=\rho (A^{*}A)}$.

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ a un rayon spectral 0, mais ${\displaystyle M\neq 0}$ donc ${\displaystyle \|M\|>0=\rho (M)}$ (plus précisément, ${\displaystyle \|M\|=1}$ car nous avons ${\displaystyle \|M\|^{2}=\|^{\operatorname {t} }M\ M\|=\rho (^{\operatorname {t} }M\ M)=1}$).

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