Racine d'un polynôme

En mathématiques, une racine d'un polynôme P est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de x² – x sont 0 et 1.

Un polynôme non nul à coefficients dans un certain corps peut n'avoir de racines que dans un corps « plus gros », et n'en a jamais plus que son degré. Par exemple x² – 2, qui est de degré 2 et à coefficients rationnels, n'a aucune racine rationnelle mais a deux racines dans ℝ (donc aussi dans ℂ). Le théorème de d'Alembert-Gauss indique que tout polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines complexes (non nécessairement distinctes).

La notion de « racine » se généralise, sous le nom de « zéro », à un polynôme en plusieurs indéterminées^[1].

Définitions

On considère un polynôme P(X) à une indéterminée notée ici X, à coefficients dans un corps ou plus généralement un anneau commutatif A (les coefficients pouvant donc appartenir à un sous-anneau).

Définition

Définition de racine^[1],[2] — Une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que, si l'on substitue à l'indéterminée X la valeur α, on obtient une expression nulle dans A.

Ainsi, le polynôme X² – 2, à coefficients dans ℚ (donc aussi dans ℝ ou ℂ), ne possède aucune racine dans ℚ mais en possède deux dans ℝ (√2 et –√2) donc aussi dans ℂ. En effet, si l'on substitue √2 ou –√2 à X dans le polynôme, on trouve bien 0.

Étymologie : Le terme de racine provient des traductions en latin de Robert de Chester et de Gérard de Crémone du terme gizr. Le mot gizr signifie « racine », il est traduit en latin par radix. Le terme gizr est utilisé par le mathématicien d'origine perse du VIII^e siècle Al-Khawarizmi, dans son traité Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, qui traite pour la première fois de manière exhaustive, du calcul des racines réelles de l'équation du second degré^[3].

Définition alternative

Définition équivalente^[1] — Une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que P(X) soit divisible par X – α (dans A[X]).

En effet, si P(X) = (X – α)Q(X) alors P(α) = 0 et réciproquement, si P(α) = 0 alors P(X) est égal à P(X) – P(α), combinaison linéaire de polynômes de la forme X^k – α^k, tous divisibles par X – α.

Dans l'exemple choisi, l'égalité :

${\displaystyle X^{2}-2=\left(X-{\sqrt {2}}\right)\left(X-\left(-{\sqrt {2}}\right)\right)}$

est une autre manière de remarquer que √2 et –√2 sont bien les deux racines du polynôme.

Définitions connexes

Le simple fait que le polynôme X – α soit unitaire permet — sans supposer A intègre — de définir les notions suivantes :

Ordre de multiplicité, racine simple, racine multiple^[1] — Si P est non nul alors, pour tout élément α de A :

• le plus grand entier m tel que P(X) soit divisible par (X – α)^m est appelé l'ordre, ou la multiplicité, de α relativement à P ;
• cet entier m est caractérisé par l'existence d'un polynôme Q tel que P(X) = (X – α)^mQ(X) et Q(α) ≠ 0 ;
• on dit que α est racine simple de P si m = 1, et racine multiple si m > 1.

Le polynôme X² – 2 est séparable, c'est-à-dire qu'il n'a aucune racine multiple. Il est de plus scindé sur ℝ, au sens suivant :

Polynôme scindé — Si P est produit de polynômes du premier degré à coefficients dans un corps commutatif L, on dit que le polynôme P est scindé sur L.

P est alors non nul, et son coefficient dominant est le produit des coefficients dominants de ces polynômes du premier degré. Plus généralement, on dit qu'un polynôme non nul de L[X] est scindé sur L s'il est le produit d'une constante et d'un produit (éventuellement vide) de polynômes unitaires du premier degré. Une telle décomposition est alors unique : chaque terme constant de l'un de ces polynômes unitaires du premier degré est égal à l'opposé d'une racine de P dans L, et si cette racine est d'ordre m, ce facteur est répété m fois. Le nombre de ces facteurs est donc égal au degré de P.

Existence des racines

Toute équation polynomiale réelle de degré impair admet au moins une solution réelle.

C'est une application du théorème des valeurs intermédiaires.

Soient K un corps commutatif et P un polynôme à une indéterminée et à coefficients dans K.

Une extension de K est un corps contenant K ; ainsi, ℝ et ℂ sont des extensions de ℚ.

Une question naturelle se pose, si L₁ et L₂ sont deux extensions de K sur lesquelles P est scindé, les racines, vues comme éléments de L₁, sont-elles « équivalentes » aux racines vues comme éléments de L₂ ? Cette équivalence existe : il existe dans L₁ une « plus petite » sous-extension, appelée corps de décomposition de P, contenant toutes les racines de P, et de même dans L₂, et ces deux sous-extensions de K sont identiques. Dans l'exemple K = ℚ, P = X² – 2, ce corps de décomposition est l'ensemble des nombres de la forme a + b√2, où a et b sont des nombres rationnels. Cet ensemble s'identifie (par un isomorphisme non unique) à un unique sous-corps de ℝ et du corps ℚ des nombres algébriques. Ainsi, la paire de racines {√2, –√2} incluse dans ℝ peut être considérée comme identique à celle incluse dans ℚ.

Existence des racines — Il existe une plus petite extension L de K, unique à isomorphisme près, telle que P soit scindé sur L. L'extension L est appelée corps de décomposition de P sur K.

Le corps L est tel que le polynôme P est scindé ; en revanche, un autre polynôme à coefficients dans K n'est pas nécessairement scindé sur L. A fortiori, un polynôme à coefficients dans L n'est pas non plus nécessairement scindé sur L. On dit qu'un corps L est algébriquement clos si tout polynôme à coefficients dans L est scindé sur L.

Existence d'une clôture algébrique — Il existe une plus petite extension algébriquement close de K, unique à isomorphisme près. L'extension L est appelée clôture algébrique de K.

Le corps ℂ est algébriquement clos, résultat connu sous le nom de théorème de d'Alembert-Gauss. La clôture algébrique de ℝ est ℂ. Celle de ℚ est le sous-corps ℚ.

Critère différentiel pour la multiplicité d'une racine

Théorème^[4],[5] — Soient A un anneau commutatif, P un polynôme à coefficients dans A et α une racine d'ordre m de P. Alors :

• α est une racine d'ordre au moins m – 1 du polynôme dérivé P' de P, et même d'ordre exactement m – 1 si m est simplifiable dans A ;
• α est racine de P, P', P'', …, P^(m–1) ;
• si m! est simplifiable dans A, α n'est pas racine de P^(m).

Démonstration

Par hypothèse, P(X) est de la forme (X – α)^mQ(X) avec m > 0 et Q(α) ≠ 0. En dérivant, on obtient P'(X) = (X – α)^m–1R(X), avec R(X) = mQ(X) + (X – α)Q'(X) donc R(α) = mQ(α), ce qui prouve le premier point. Les deux autres s'en déduisent par récurrence.

Une autre méthode est d'utiliser la règle de Leibniz, qui vaut aussi pour des dérivées formelles.

En particulier :

• une racine de P est multiple si et seulement si elle est aussi racine de P' ;
• si A est un corps de caractéristique 0 alors, pour que α soit une racine d'ordre r de P, il faut et il suffit que P(α), P'(α), P''(α), …, P^(r–1)(α) soient nuls et P^(r)(α) soit non nul.

Sur un corps de caractéristique p > 0, ce dernier critère n'est pas valide car le polynôme dérivé de X^p est nul.

Relations entre les coefficients et les racines

Calcul des racines

On peut utiliser la méthode de Muller pour calculer les racines d'un polynôme. On interpole le polynôme P par un polynôme de degré deux : ${\displaystyle a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}}$ selon l'interpolation lagrangienne. On retrouve les coefficients en évaluant P en trois points (${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2}}$) :

• ${\displaystyle a_{2}={\frac {P[x_{0},x_{1}]-P[x_{1},x_{2}]}{x_{0}-x_{2}}}=P[x_{0},x_{1},x_{2}]}$
• ${\displaystyle b_{2}=P[x_{1},x_{2}]-a_{2}\times (x_{1}+x_{2})}$
• ${\displaystyle c_{2}=P(x_{2})-a_{2}\times x_{2}^{2}-b_{2}\times x_{2}}$

avec : ${\displaystyle f[u,v]={\frac {f(u)-f(v)}{u-v}}.}$

Mais en utilisant ce polynôme d’approximation, le choix de la racine de ce polynôme est problématique. Müller eut alors l’idée d’utiliser le même polynôme, mais sous la forme : ${\displaystyle a_{n}(x-x_{n})^{2}+b_{n}(x-x_{n})+c_{n}}$ avec ${\displaystyle x_{n}}$ qui va tendre vers la racine. Particularité de cet algorithme : ${\displaystyle x_{n}}$ peut être un nombre complexe. Coefficients :

• ${\displaystyle a_{n}=P[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}$
• ${\displaystyle b_{n}=P[x_{n-1},x_{n}]-a_{n}\times (x_{n-1}-x_{n})}$
• ${\displaystyle c_{n}=P(x_{n})}$

Cette méthode est autoconvergente : le calcul de la racine va s'affiner petit à petit. On peut donc commencer avec ${\displaystyle x_{0}=-1}$, ${\displaystyle x_{1}=0}$ et ${\displaystyle x_{2}=1}$ et ${\displaystyle n=2}$. Tant que le polynôme ne s'annule pas en ${\displaystyle x_{n}}$, on passe à l'itération ${\displaystyle n+1}$ suivante avec :

• ${\displaystyle r={\sqrt {b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}}}}$, où ${\displaystyle b_{n}^{2}-4a_{n}c_{n}}$ peut être négatif ou complexe.
  • ${\displaystyle d={\frac {-2c_{n}}{b_{n}-r}}}$ si ${\displaystyle |b_{n}+r|<|b_{n}-r|}$
  • ${\displaystyle d={\frac {-2c_{n}}{b_{n}+r}}}$ sinon
• ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+d.}$

Finalement, le zéro est ${\displaystyle x_{n}.}$

Notes et références

1. N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), chap. IV, p. A.IV.14.
2. Gilles Godefroy, L'aventure des nombres, Odile Jacob, 1997 (lire en ligne), p. 211.
3. La première inconnue par l'IREM de Poitiers p. 27.
4. Bourbaki, p. A.IV.16.
5. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], Proposition 10.25.

Voir aussi

Articles connexes

• Racine d'un polynôme réel ou complexe
• Inconnue (mathématiques)
• Solutions complexes d'équations polynomiales à coefficients réels
• Équation polynomiale
  • Équation du second degré
• Fonction polynomiale
• Méthode de Muller
• Théorème de Rouché

Lien externe

Racines entières d'un polynôme à coefficients entiers sur gecif.net

• Portail des mathématiques