Interpolation lagrangienne
technique d'interpolation par des polynômes De Wikipédia, l'encyclopédie libre
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En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph-Louis Lagrange, permettent d'interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d'interpolation polynomiale a été découverte par Edward Waring en 1779 et redécouverte plus tard par Leonhard Euler en 1783. C'est un cas particulier du théorème des restes chinois.
On se donne n + 1 points (avec les xi distincts deux à deux). On se propose de construire un polynôme de degré minimal qui aux abscisses xi prend les valeurs yi, ce que la méthode suivante permet de réaliser.
L'étude suivante propose de montrer que le polynôme est le seul polynôme de degré au plus n à satisfaire cette propriété[1].
Les polynômes de Lagrange associés à ces points sont les polynômes définis par :
On a en particulier deux propriétés :
Le polynôme défini par est l'unique polynôme de degré au plus n vérifiant pour tout i.
En effet :
Pour les points , on calcule d'abord les polynômes de Lagrange :
Puis on calcule la fonction polynomiale passant par ces points :
Posons le polynôme . On voit immédiatement qu'il vérifie N(xi) = 0 et, en utilisant la formule de Leibniz, sa dérivée vaut :
En particulier, en chaque nœud xk, tous les produits s'annulent sauf un, ce qui donne la simplification :
Ainsi, les polynômes de Lagrange peuvent être définis à partir de N :
On peut utiliser N pour traduire l'unicité : si Q vérifie pour tout i alors Q – L s'annule aux points xi donc est un multiple de N. Il est donc de la forme où P est un polynôme quelconque. On a ainsi l'ensemble des polynômes interpolateurs liés aux points (xi, yi), et L est celui de degré minimal.
L'écriture alternative est à la base de l'algorithme rapide de calcul du polynôme d'interpolation de Lagrange. Avec les mêmes notations que précédemment, l'algorithme consiste à calculer par une approche diviser pour régner, puis sa dérivée qu'on évalue ensuite sur les par évaluation multipoint. Puisque , on en déduit queÉtant donnés toutes les valeurs des , on peut calculer le numérateur et le dénominateur de la fraction rationnelle, en utilisant à nouveau via une approche diviser pour régner[2]. En utilisant des algorithmes de multiplication rapide (en), le polynôme d'interpolation de Lagrange peut être calculé avec un nombre d'opérations algébriques quasi linéaire.
On se donne n + 1 scalaires distincts . Pour tout polynôme P appartenant à , si on pose , P est le polynôme d'interpolation correspondant aux points : il est égal au polynôme L défini ci-dessus.
On a donc donc forme une famille génératrice de . Comme son cardinal (égal à n + 1) est égal à la dimension de l'espace, elle en est une base.
Exemples : en choisissant P = 1 ou P = X, on a :
En fait c'est la base dont la base duale est la famille des n + 1 formes linéaires de Dirac définies par
Si l'on considère le produit scalaire :
la famille forme une base orthonormée de .
Résoudre un problème d'interpolation conduit à inverser une matrice pleine de type matrice de Vandermonde[3]. C'est un calcul lourd en nombre d'opérations. Les polynômes de Lagrange définissent une nouvelle base de polynômes qui permet de ne plus avoir une matrice pleine mais une matrice diagonale. Or, inverser une matrice diagonale est une opération triviale.
Pour tout multiensemble de scalaires et tout élément de , il existe un unique polynôme de degré tel que
Ce polynôme s'écrit donc , où est l'unique polynôme de degré tel que et tous les autres sont nuls[4]. Cela généralise à la fois l'interpolation de Lagrange et celle d'Hermite.
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