Racine cubique

En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel ${\displaystyle y}$ est l'unique nombre réel ${\displaystyle x}$ dont le cube (c'est-à-dire la puissance 3^e) vaut ${\displaystyle y}$ ; en d'autres termes, ${\displaystyle y=x^{3}=x\times x\times x}$. La racine cubique de ${\displaystyle y}$ est notée ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}}$.

Courbe représentative de la fonction racine cubique sur R.

On peut également parler des racines cubiques d'un nombre complexe.

Définition

De façon générale, on appelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe) ${\displaystyle y}$ tout nombre ${\displaystyle x}$ solution de l'équation :

${\displaystyle x^{3}=y.}$

Si ${\displaystyle y}$ est réel, cette équation a dans R une unique solution, qu'on appelle la racine cubique du réel ${\displaystyle y}$ : ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{y}}}$.

Dans C, cette équation a trois solutions distinctes, qui sont les racines cubiques du complexe ${\displaystyle y}$. Lorsque ce complexe ${\displaystyle y}$ est un réel, ces trois solutions sont : ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}}$, ${\displaystyle {\rm {j}}{\sqrt[{3}]{y}}}$ et ${\displaystyle {\overline {\rm {j}}}{\sqrt[{3}]{y}}}$, où ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}}$ est la racine cubique réelle de ${\displaystyle y}$ et 1, j et j sont les trois racines cubiques de l'unité dans C.

Racine cubique d'un nombre réel

Exemples

La racine cubique de 8 est 2 car 2×2×2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le volume. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$.

La racine cubique de –27 est –3 car (–3)×(–3)×(–3) = –27

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-27}}=-3}$.

Fonction racine cubique

Sur R, la fonction racine cubique, notée ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{~}}}$, est celle qui associe à un nombre réel son unique racine cubique réelle.

Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la fonction puissance un tiers^{[Note 1]} :

${\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\sqrt[{3}]{y}}=y^{1 \over 3}}$.

Propriétés

• La racine cubique est associative avec les exposants, distributive avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition et/ou la soustraction.
• D'après le théorème de Wantzel, la racine cubique d'un nombre rationnel n'est pas constructible à la règle et au compas, sauf bien sûr si elle est rationnelle. C'est pourquoi le problème de la duplication du cube n'a pas de solution.

Racines cubiques d'un nombre complexe

Tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques complexes distinctes, de somme nulle. Si Z est l'une d'elles, les deux autres sont jZ et j²Z, où

${\displaystyle 1,\quad {\rm {j}}={\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{{\rm {i}}{\frac {2\pi }{3}}}\quad {\rm {et}}\quad {\rm {j}}^{2}={\overline {\rm {j}}}={\frac {-1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{-{\rm {i}}{\frac {2\pi }{3}}}}$

sont les trois racines cubiques de l'unité.

Symbole Unicode

U+221B ∛ racine cubique (HTML : ∛)

Note

1. Comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R₊* : pour tout réel y > 0, y^1/3 est l'exponentielle de base y du réel 1/3.

Voir aussi

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• Racine d'un nombre
• Racine cubique de deux
• Algèbre
• Fonction exponentielle
• Algorithme de calcul de la racine n-ième

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