Orthogonalisation simultanée

La méthode de Gauss construit une base orthogonale pour une forme quadratique donnée sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Le théorème montre l'existence d'une base orthogonale en même temps pour deux formes quadratiques dont l'une est issue d'un produit scalaire.

Orthogonalisation simultanée dans le cas euclidien

Théorème — Soit E un espace euclidien. Si q est une forme quadratique sur E, alors il existe une base orthonormée pour le produit scalaire et orthogonale pour q.

Démonstration^[1]

Contrairement à d'autres, cette preuve d'existence ne produit pas la base en question.

Notons le produit scalaire ${\displaystyle (x,y)\mapsto x.y\,}$ et la norme euclidienne associée ${\displaystyle x\mapsto \|x\|^{2}.}$

• Comme E est de dimension finie, la sphère unité ${\displaystyle S=\{x\in E\mid \|x\|=1\}}$ est compacte d'après le théorème de Borel-Lebesgue. La fonction ${\displaystyle f:x\mapsto q(x)/\|x\|^{2}}$ est continue sur S. Elle y est donc majorée et atteint cette borne en un certain point e.
• Comme f est homogène de degré 0, e réalise aussi un maximum de f sur l'ouvert E\{0}.
• Si ϕ est la forme polaire associée à q, on a : ${\displaystyle q(e+x)-q(e)=2\phi (e,x)+q(x).}$ La différentielle de q en e est alors la partie linéaire du terme de droite : ${\displaystyle Dq_{e}(x)=2\phi (e,x).}$
• Comme e est un extremum pour f, la différentielle de f en e est nécessairement nulle, soit${\displaystyle 0=Df_{e}(x)={\frac {2\phi (e,x)\|e\|^{2}-2q(e)(e.x)}{\|e\|^{4}}}}$ou${\displaystyle 2\phi (e,x)=2q(e)(e.x)}$ donc pour tout ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle e.x=0}$ entraîne ${\displaystyle \phi (e,x)=0}$.
• On achève la preuve par récurrence sur la dimension de l'espace E. En dimension 1, c'est évident. Supposons la propriété vraie en dimension n – 1. La droite dirigée par e est supplémentaire de son orthogonal :${\displaystyle E=\langle e\rangle \bigoplus \langle e\rangle ^{\perp }}$car le produit scalaire est une forme symétrique définie positive. L'hypothèse de récurrence donne une base ${\displaystyle (u_{2},...,u_{n})}$ de ${\displaystyle \langle e\rangle ^{\perp }}$ orthonormée pour le produit scalaire, orthogonale pour ϕ. Par construction :
  • ${\displaystyle e.u_{i}=0}$ et donc aussi ${\displaystyle \phi (e,u_{i})=0}$ pour ${\displaystyle i=2,\ldots ,n}$
  • ${\displaystyle \|e\|=1.}$

La base ${\displaystyle (e,u_{2},...,u_{n})}$ répond donc à la question.

Applications

Une conique à centre a des axes de symétrie orthogonaux.