Nombre de Fermat

Un nombre de Fermat est un nombre qui peut s'écrire sous la forme ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$, avec ${\displaystyle n}$ entier naturel. Le nombre de Fermat de rang ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$, est noté ${\displaystyle F_{n}}$.

Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) étudia les propriétés des nombres portant maintenant son nom.

La suite ${\displaystyle (F_{n})}$, qui débute par 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617 est répertoriée comme suite A000215 de l'OEIS.

Ces nombres doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F₅ étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à F₃₂. On ne sait pas si les nombres à partir de F₃₃ sont premiers ou composés. Ainsi, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont au nombre de cinq, à savoir les cinq premiers F₀, F₁, F₂, F₃ et F₄, qui valent respectivement 3, 5, 17, 257 et 65 537.

Les nombres de Fermat disposent de propriétés intéressantes, en général issues de l'arithmétique modulaire. En particulier, le théorème de Gauss-Wantzel établit un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à ${\displaystyle n}$ côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si ${\displaystyle n}$ est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.

Histoire

En 1640, dans une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy, Pierre de Fermat énonce son petit théorème et commente : « Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long^[1]. » Ce théorème lui permet d'étudier les nombres portant maintenant son nom. Dans cette même lettre^[2], il émet la conjecture que ces nombres sont tous premiers mais reconnaît : « je n'ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition ». Cette hypothèse le fascine ; deux mois plus tard, dans une lettre à Marin Mersenne, il écrit : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part^[3]. » Il écrit encore à Blaise Pascal : « C’est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerois pas pour la chercher, si j’en étois venu à bout^[4] ». Dans une lettre à Kenelm Digby, non datée mais envoyée par Digby à John Wallis le 16 juin 1658, Fermat donne encore sa conjecture^[5] comme non démontrée^[6]. Toutefois, dans une lettre de 1659 à Pierre de Carcavi^[7], il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvé une démonstration^[8]. Si Fermat a soumis cette conjecture à ses principaux correspondants, elle est par contre absente des Arithmétiques de Diophante rééditées en 1670, où son fils retranscrivit les quarante-sept autres conjectures qui furent plus tard prouvées. C'est la seule conjecture erronée de Fermat.

En 1732, le jeune Leonhard Euler, à qui Christian Goldbach avait signalé cette conjecture trois ans auparavant^[9], la réfute^[10] : F₅ est divisible par 641. Il ne dévoile la construction de sa preuve^[11] que quinze ans plus tard. Il y utilise une méthode similaire à celle^[12] qui avait permis à Fermat de factoriser les nombres de Mersenne M₂₃ et M₃₇^[13].

Il est probable que les seuls nombres premiers de cette forme soient 3, 5, 17, 257 et 65 537, car Boklan et Conway^[14] ont prépublié en mai 2016 une analyse très fine estimant la probabilité d'un autre nombre premier à moins d'un sur un milliard.

Propriétés

Premières propriétés

La suite des nombres de Fermat peut se définir par récurrence simple :

${\displaystyle {\begin{cases}F_{0}=3\\F_{n}\ =\ (F_{n-1}-1)^{2}+1,&{\text{pour }}n\geqslant 1\end{cases}}}$

ou par récurrence double :

${\displaystyle {\begin{cases}F_{0}=3,F_{1}=5\\F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2},&{\text{pour }}n\geqslant 2\end{cases}}}$

ou par récurrence forte :

${\displaystyle {\begin{cases}F_{0}=3\\F_{n}\ =\ \prod _{i=0}^{n-1}F_{i}\ +\ 2,&{\text{pour }}n\geqslant 1\end{cases}}}$

ou encore :

${\displaystyle {\begin{cases}F_{0}=3,F_{1}=5\\F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\prod _{i=0}^{n-2}F_{i},&{\text{pour }}n\geqslant 2\end{cases}}}$.

On en déduit le théorème de Goldbach^[15] affirmant que :

Deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

Soit ${\displaystyle D(n,b)}$ le nombre de chiffres utilisés pour écrire ${\displaystyle F_{n}}$ en base ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{\overset {n}{}}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor ,}$

où les crochets désignent la fonction partie entière et ${\displaystyle \log _{b}}$ le logarithme de base ${\displaystyle b}$.

La suite ${\displaystyle (D(n,10))}$, qui débute par 1, 1, 2, 3, 5, 10, 20, 39, 78, 155 est répertoriée comme suite A057755 de l'OEIS.

Tous les nombres de Fermat à partir de ${\displaystyle F_{2}=17}$ se terminent par le chiffre 7 en écriture décimale.

Les nombres de Fermat premiers ne sont pas des nombres brésiliens alors que les nombres de Fermat composés sont tous des nombres brésiliens^[16].

Démonstrations

• ${\displaystyle F_{n}\ =\ (F_{n-1}-1)^{2}+1\quad {\rm {ou}}\quad F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-\ 1)^{2}.}$

En effet :

${\displaystyle F_{n}\ =\ 2^{2^{n}}+1\ =\ (2^{2^{n-1}})^{2}+1\ =\ (F_{n-1}\ -\ 1)^{2}+1\ =\ F_{n-1}^{2}-2F_{n-1}+2\ =\ F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}\ -\ 1)^{2}.}$

• ${\displaystyle F_{n}\ =\ \prod _{i=0}^{n-1}F_{i}\ +\ 2\quad {\rm {ou}}\quad F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\prod _{i=0}^{n-2}F_{i}.}$

Une récurrence et l'égalité suivante permet de calculer le premier produit :

${\displaystyle F_{n}-2=(F_{n-1}\ -1)^{2}-1\ =\ F_{n-1}(F_{n-1}-2).}$

La seconde égalité s'en déduit :

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1\ =\ 2^{2^{n-1}}+1+2^{2^{n-1}}(2^{2^{n-1}}-1)\ =\ F_{n-1}+2^{2^{n-1}}(F_{n-1}-2)=F_{n-1}\ +\ 2^{2^{n-1}}\prod _{i=0}^{n-2}F_{i}.}$

• Deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

Soit n et m deux entiers positifs tels que n est strictement plus grand que m. Montrons que le seul facteur commun à F_n et F_m est 1. Un calcul précédent montre que

${\displaystyle F_{n}=qF_{m}+2\quad {\rm {si}}\quad q=\left(\prod _{i=0}^{m-1}F_{i}\right)\left(\prod _{i=m+1}^{n-1}F_{i}\right)}$

donc un diviseur commun à F_n et F_m est aussi un diviseur de 2. Or 2 ne divise pas F_n. Ces trois entiers sont donc premiers entre eux deux à deux.

• ${\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \left\lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\right\rfloor .}$

Il suffit de remarquer que le nombre de chiffres nécessaire pour écrire un entier a en base b est égal à la partie entière de log_b(a)+1.

• F_n se termine par 7 pour n supérieur ou égal à 2 car c'est le produit de F₁ = 5 par un nombre impair, plus 2.

Nombre de Fermat et primalité

La raison historique de l'étude des nombres de Fermat est la recherche de nombres premiers. Fermat connaissait déjà la proposition suivante^[17] :

Soit k un entier strictement positif ; si le nombre 2^k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2.

Démonstration

Il existe deux entiers a impair et b tels que k = a 2^b. En posant c = 2^(2b), on dispose alors des égalités suivantes :

${\displaystyle 2^{k}+1=c^{a}+1=(c+1)\sum _{i=0}^{a-1}(-1)^{i}c^{i},}$

qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2^k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2^b.

Fermat a conjecturé (erronément, comme on l'a vu) que la réciproque était vraie ; il a montré que les cinq nombres

${\displaystyle F_{0}=2^{1}+1=3}$, ${\displaystyle F_{1}=2^{2}+1=5}$, ${\displaystyle F_{2}=2^{4}+1=17}$, ${\displaystyle F_{3}=2^{8}+1=257}$ et ${\displaystyle F_{4}=2^{16}+1=65\,537}$ sont premiers. Actuellement, on ne connaît que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cités ci-dessus.

On ignore encore s'il en existe d'autres, mais on sait que les nombres de Fermat F_n, pour n entre 5 et 32, sont tous composés ; F₃₃ est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s'il est premier ou composé.

En 2013^[18], le plus grand nombre de Fermat dont on savait qu'il est composé était : F_{2 747 497} ; l'un de ses diviseurs est le nombre premier de Proth 57×2^{2 747 499} + 1^[19].

Factorisation des nombres de Fermat composés

Euler démontre le théorème :

Tout facteur premier d'un nombre de Fermat F_n est de la forme k.2ⁿ⁺¹ + 1, où k est un entier.

(Lucas a même démontré plus tard que tout facteur premier d'un nombre de Fermat F_n est de la forme k.2ⁿ⁺² + 1.)

Ceci lui permet de trouver rapidement :

${\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\times 6\,700\,417}$ (semi-premier^[9]).

${\displaystyle (641=10\times 2^{5+1}+1=5\times 2^{5+2}+1)}$

Démonstrations

• Tout facteur premier p d'un nombre de Fermat F_n est de la forme k.2ⁿ⁺¹ + 1, où k est un entier.
  Modulo p, F_n est congru à 0 donc 2²ⁿ est congru à –1, si bien que l'ordre multiplicatif de 2 dans l'anneau ℤ/pℤ est égal à 2ⁿ⁺¹. Or cet ordre multiplicatif est un diviseur de p – 1, ce qui termine la démonstration.
• ${\displaystyle F_{5}=641\times 6~700~417.}$
  On peut le vérifier par un simple calcul, mais expliquons comment Euler découvrit le diviseur 641. On cherche un entier k tel que le nombre p = 64k + 1 soit à la fois premier et diviseur strict de F₅. Les premières valeurs de k ne conviennent pas, mais dès k = 10, on constate que p = 641 est premier et que modulo p,
  ${\displaystyle -~2^{4}\equiv 5^{4}}$ donc ${\displaystyle -2^{32}\equiv 5^{4}\times 2^{28}=(5\times 2^{7})^{4}=640^{4}\equiv (-1)^{4}=1}$ et ${\displaystyle F_{5}\equiv 0}$.
• Tout facteur premier p de F_n pour n > 1 peut s'écrire sous la forme s.2ⁿ⁺² + 1, où s est un entier.
  D'après la démonstration précédente, p est de la forme k.2ⁿ⁺¹ + 1. Édouard Lucas est allé plus loin :
  Comme n > 1, p est congru à 1 modulo 8. D'après la deuxième loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique, 2 est donc un résidu quadratique modulo p, c'est-à-dire qu'il existe un entier a tel que ${\displaystyle a^{2}\equiv 2{\pmod {p}}}$.
  Il est également possible de remarquer directement que 2 est un résidu quadratique modulo p, car

${\displaystyle \left(2^{2^{n-1}}+1\right)^{2}\equiv 2^{2^{n}}+1+2^{2^{n-1}+1}\equiv F_{n}+2^{2^{n-1}+1}\equiv 2^{2^{n-1}+1}{\pmod {p}}.}$
Comme une puissance impaire de 2 est un résidu quadratique modulo p, 2 lui-même en est un aussi.
On a alors ${\displaystyle a^{2^{n+1}}\equiv \ (a^{2})^{2^{n}}\equiv \ 2^{2^{n}}\equiv \ -1}$, et ${\displaystyle a^{2^{n+2}}\equiv \ 2^{2^{n+1}}\equiv \ 1{\pmod {p}}}$.
Ainsi l'ordre de a modulo p est égal à ${\displaystyle 2^{n+2}}$, et d'après le petit théorème de Fermat, p − 1 est donc divisible par ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ; p peut alors s'écrire sous la forme ${\displaystyle s2^{n+2}+1}$.

Le cas général est un problème difficile du fait de la taille des entiers F_n, même pour des valeurs relativement faibles de n. En 2020, le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est F₁₁^[20], dont le plus grand des cinq diviseurs premiers a 564 chiffres décimaux (la factorisation complète de F_n, pour n inférieur à 10, est, elle aussi, entièrement connue). En ce qui concerne F₁₂, on sait qu'il est composé ; mais c'est, en 2020, le plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complète^[21]. Quant à F₂₀, c'est, en 2020, le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaisse aucun diviseur premier^[22].

Série des inverses des nombres de Fermat

La série des inverses des nombres de Fermat est convergente et sa somme ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}596}$^[23] est irrationnelle^[24] et même transcendante^[25]. Ces résultats viennent de ce que cette somme est trop bien approchée par des rationnels.

Polygone régulier

Gauss et Wantzel ont établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 (éventuellement égale à 2⁰ = 1) et d'un nombre fini (éventuellement nul) de nombres de Fermat premiers distincts.

Par exemple, le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de même, un polygone à 340 côtés est constructible à la règle et au compas puisque 340 = 2².F₁.F₂.

Généralisations

Il est possible de généraliser une partie des résultats obtenus pour les nombres de Fermat.

Pour que aⁿ + 1 soit premier, a doit nécessairement être pair et n doit être une puissance de 2.

On appelle couramment « nombres de Fermat généralisés^[26] » les nombres de la forme ${\displaystyle a^{2^{n}}+1}$ (avec a ≥ 2)^[27], mais Hans Riesel a donné aussi ce nom aux nombres de la forme ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$^[28]. Le plus grand nombre premier de la forme ${\displaystyle a^{2^{n}}+1}$ connu en 2017 est ${\displaystyle 24518^{2^{18}}+1}$, un nombre de plus d'un million de chiffres^[29].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fermat number » (voir la liste des auteurs).

1. Lettre XLIV à Frénicle, 18 octobre 1640, dans Œuvres de Fermat, t. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1894 (lire en ligne), p. 209.
2. Dans une autre lettre à Frénicle il écrit aussi : « Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n'en ai pas la démonstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine à me dédire. », Lettre XLIII, août ? 1640, dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 206.
3. Lettre XLV, 25 décembre 1640, dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 213. Édouard Lucas, dans ses Récréations mathématiques, tome II, p. 234 donne cette citation infidèle (7 n'a pas à être dans la liste) : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537 sont nombres premiers […] ».
4. Lettre LXXIII, 29 aout 1654, dans Œuvres de Fermat – Correspondance
5. « Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt termini progressionis geometricæ ejusdem numeri 2, unitate auctae, sunt numeri primi » (« Toutes les puissances du nombre 2 dont les exposants sont des termes de la progression géométrique du même nombre 2, donnent, si on les augmente d'une unité, des nombres premiers. »)
6. « propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non diffitemur […] Quaeritur demonstratio illius propositionis, pulchræ sane, sed et verissimæ » (« quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la démonstration […] Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie »), lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.
7. Lettre CI, point 5, dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 433-434. Fermat énumère des questions qui se traitent par sa méthode de la descente infinie. Il place parmi ces questions sa conjecture (erronée) sur les nombres dits depuis nombres de Fermat et il ne dit plus, comme il l'avait fait dans des lettres antérieures, qu'il n'a pas encore trouvé de démonstration de cette conjecture.
8. C'est l'interprétation que donne H.M. Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer, 1977, p. 24, prenant position contre les vues contraires de E.T. Bell, The Last Problem, New York, 1961, p. 256.
9. (en) E. Sandifer, « How Euler did it — Factoring F₅ », sur eulerarchive.maa.org, mars 2007.
10. (la) L. Euler, « Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus », Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 6,‎ 1732, p. 102-103 (lire en ligne).
11. (la) L. Euler, « Theoremata circa divisors numerorum », Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, vol. 1,‎ 1750, p. 20-48 (lire en ligne) (présenté en 1747/48).
12. Décrite dans (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Perfect numbers », sur MacTutor, université de St Andrews.
13. Fermat, dans sa lettre XL à Mersenne de juin ? 1640 (Œuvres de Fermat, t. 2, p. 195-199), découvre pour M₃₇ le diviseur 6 × 37 + 1, après avoir détaillé sa méthode sur l'exemple connu M₁₁ = 23 × 89. Dans sa lettre XLIII à Frénicle (août ? 1640) déjà citée, il signale de plus, pour M₂₃, le diviseur 47.
14. (en) Kent D. Boklan et John H. Conway, « Expect at most one billionth of a new Fermat Prime! », The Mathematical Intelligencer,‎ 2017 (DOI 10.1007/s00283-016-9644-3, arXiv 1605.01371v2, lire en ligne, consulté le 8 mai 2016).
15. (en) Leonid Durman et Luigi Morelli, « History — All researchers of Fermat numbers, who found at least one factor », sur Distributed search for Fermat number divisors.
16. B. Schott, , Les nombres brésiliens, Quadrature, n^o 76, 2010, Prop. 3 p.36.
17. Boklan et Conway 2017 appellent « nombres premiers de Fermat » (avec un t en italique) les nombres premiers de la forme 2^k + 1 avec k entier positif ou nul, qui sont donc 2 et les « vrais » nombres premiers de Fermat.
18. Pour des résultats plus récents, voir par exemple (en) Wilfrid Keller, « Prime factors k•2ⁿ + 1 of Fermat numbers F_m and complete factoring status », avril 2015.
19. (en) « PrimeGrid’s Proth Prime Search - 57*2^2747499+1 (official announcement) », Primegrid, 13 mai 2013.
20. (en) Richard P. Brent, Factorization of the Tenth and Eleventh Fermat Numbers, février 1996.
21. Depuis le 27 mars 2010, on connaît six des diviseurs premiers de F₁₂, mais toujours pas sa décomposition complète. Voir .
22. Avant 2010, le plus petit tel nombre était F₁₄. Le 3 février 2010, un diviseur à 54 chiffres de F₁₄ a été découvert par Tapio Rajala, Département de Mathématiques et Statistiques, Université de Jyväskylä, Finlande. Voir le site prothsearch et mersenneforum : k.2¹⁶ + 1, où k est un nombre à 49 chiffres.
23. Suite  A051158 de l'OEIS.
24. (en) Solomon W. Golomb, « On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities », Canad. J. Math., vol. 15,‎ 1963, p. 475-478 (lire en ligne).
25. (en) D. Duverney, « Transcendence of a fast converging series of rational numbers », Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 130, n^o 2,‎ 2001, p. 193-207.
26. (en) Eric W. Weisstein, « Generalized Fermat Number », sur MathWorld.
27. (en) Generalized Fermat Prime search.
28. (en) H. Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Springer, 1994 (lire en ligne), p. 102.
29. (en) The prime database.

Voir aussi

• Test de Pépin
• Nombre trapézoïdal (les nombres triangulaires non trapézoïdaux font intervenir les nombres de Fermat premiers)
• (en) Michal Křížek (cs), Florian Luca (en) et Lawrence Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers : From Number Theory to Geometry, New York, Springer, 2001, 257 p. (ISBN 978-0-387-95332-8, lire en ligne) — Contient une bibliographie étendue.
• (en) Suite  A000215 de l'OEIS

• Arithmétique et théorie des nombres