Moyenne de Lehmer

En mathématiques, la moyenne de Lehmer d'une famille ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ de nombres réels strictement positifs, portant le nom de Derrick Henry Lehmer, est une moyenne définie par ^[2]:

${\displaystyle L_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}},}$

Construction géométrique des moyennes de Lehmer de deux nombres réels, selon un résultat de Farnsworth et Orr^[1].

où p est un réel quelconque.

La moyenne de Lehmer pondérée par une famille ${\displaystyle (m_{1},\dots ,m_{n})}$ de poids positifs est définie par :

${\displaystyle L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.}$

Elle n'est autre que la moyenne de ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ pondérée par la famille ${\displaystyle (m_{1}x_{1}^{p-1},\dots ,m_{n}x_{n}^{p-1})}$.

La moyenne de Lehmer propose une alternative à la moyenne de Hölder habituelle pour relier le minimum et le maximum en passant par la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique.

Propriétés

Comparaison entre la moyenne de Lehmer ${\displaystyle {\frac {1+2^{p}}{1+2^{p-1}}}}$ de 1 et 2 (en rouge), avec leur moyenne de Hölder${\displaystyle \left({\frac {1+2^{p}}{2}}\right)^{1/p}}$ (en bleu).

La moyenne de Lehmer d'ordre p + 1 d'un n-uplet de nombres positifs est supérieure ou égale à la moyenne (de Hölder) d'ordre p si et seulement si p est supérieur ou égal à 1, et inversement ^[3]:

${\displaystyle {\begin{cases}\forall (x_{1},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p+1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\geqslant M_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})&\Longleftrightarrow p\geqslant 1,\\\forall (x_{1},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p+1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\leqslant M_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})&\Longleftrightarrow p\leqslant 1.\end{cases}}}$

La moyenne de Lehmer ne respecte pas l'inégalité de Minkowski pour tout ordre^[3]:

${\displaystyle {\begin{cases}\forall (x_{1},\cdots ,x_{n}),(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p}(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\leqslant L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})+L_{p}(y_{1},\cdots ,y_{n})&\Longleftrightarrow 1\leqslant p\leqslant 2,\\\forall (x_{1},\cdots ,x_{n}),(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p}(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\geqslant L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})+L_{p}(y_{1},\cdots ,y_{n})&\Longleftrightarrow 0\leqslant p\leqslant 1.\end{cases}}}$

La dérivée de ${\displaystyle p\mapsto L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}},}$

étant positive, cette fonction est croissante ; on a donc l’implication

${\displaystyle p\leqslant q\Longrightarrow L_{p}({x_{1},\cdots ,x_{n}})\leqslant L_{q}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$

La dérivée de la moyenne pondérée de Lehmer est :

${\displaystyle {\frac {\partial L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\partial p}}={\frac {(\sum mx^{p-1})(\sum mx^{p}\ln {x})-(\sum mx^{p})(\sum mx^{p-1}\ln {x})}{(\sum mx^{p-1})^{2}}}}$

Cas particuliers

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ est le minimum de ${\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})}$.
• ${\displaystyle L_{0}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ est la moyenne harmonique.
• ${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}(x_{1},x_{2})}$ est la moyenne géométrique de ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$.
• ${\displaystyle L_{1}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ est la moyenne arithmétique.
• ${\displaystyle L_{2}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ est la moyenne contre-harmonique.
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ est le maximum de ${\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})}$.

Voir aussi

• Moyenne
• Moyenne d'ordre p
• Moyenne de Gini