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Les matrices de Jacobi sont des matrices symétriques tridiagonales, éventuellement infinies. Leur nom vient du mathématicien allemand Carl Gustav Jakob Jacobi.
Les matrices de Jacobi de taille finie sont de la forme
avec
On montre que est une valeur propre de la matrice si et seulement si
Si l'on réduit la fraction continue en une fraction rationnelle, le numérateur sera le polynôme caractéristique de la matrice .
Considérons deux suites et , toujours avec et . L'opérateur de Jacobi associé est défini sur un espace de suites par
Les opérateurs de Jacobi sont liés à la théorie des polynômes orthogonaux. En effet, si l'on note avec la solution de
alors est un polynôme de degré . Ces polynômes vérifient la relation de récurrence d'ordre 2 :
pour tout , si l'on pose et . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une certaine mesure.
Par exemple, avec et , les polynômes sont les polynômes de Laguerre.
Avec et , les polynômes sont les polynômes de Tchebychev de seconde espèce.
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