M-matrice

En mathématiques, une M-matrice est une matrice carrée réelle qui est à la fois une P-matrice et une Z-matrice, ce qui signifie que tous ses mineurs principaux sont strictement positifs et que ses éléments extra-diagonaux sont négatifs. D'autres caractérisations peuvent être utilisées, dont certaines sont données ci-dessous.

Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire et dans certaines discrétisations d'opérateurs différentiels, en particulier ceux obéissant à un principe du maximum, comme le laplacien.

Cette classe de matrices semble avoir été introduite par Alexander Ostrowski en référence à Hermann Minkowski^[1].

Définitions

La notion de M-matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes. On utilise ci-dessous les notions de Z-matrice, de P-matrice et de S-matrice.

M-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ est une M-matrice si c'est une Z-matrice et si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée, équivalentes sous l'hypothèse que ${\displaystyle M\in \mathbf {Z} }$ :

1. ${\displaystyle M\in \mathbf {P} }$,
2. ${\displaystyle M\in \mathbf {S} }$,
3. ${\displaystyle M}$ est inversible et ${\displaystyle M^{-1}\geqslant 0}$ (tous les éléments de son inverse sont positifs),
4. toutes les valeurs propres de ${\displaystyle M}$ ont une partie réelle strictement positive.

On note M l'ensemble des M-matrices d'ordre quelconque. On appelle M-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à M.

Propriétés

Algèbre linéaire

Les facteurs LU d'une M-matrice existent et peuvent être calculés de manière stable, sans pivotage. Cette propriété a également lieu pour la factorisation LU incomplète.

Complémentarité linéaire

Un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur ${\displaystyle x\geqslant 0,}$ tel que ${\displaystyle Mx+q\geqslant 0}$ et ${\displaystyle x^{\!\top \!}(Mx+q)=0.}$ Dans cette définition, ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n},}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle x^{\!\top \!}}$ est le transposé de ${\displaystyle x}$ et les inégalités doivent se comprendre composante par composante. Ce problème est parfois noté de manière compacte comme suit

${\displaystyle {\mbox{CL}}(M,q)\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.}$

L'ensemble admissible de ce problème est noté

${\displaystyle {\mbox{Adm}}(M,q):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}.}$

L'importance des M-matrices dans les problèmes de complémentarité linéaire provient du résultat suivant.

M-matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. ${\displaystyle M\in \mathbf {M} }$,
2. pour tout ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \operatorname {Adm} (M,q)}$ contient un minimum (pour l'ordre ${\displaystyle \leqslant }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) qui est l'unique solution de ${\displaystyle \operatorname {CL} (M,q)}$,
3. pour tous vecteurs ${\displaystyle q^{1}\leqslant q^{2}}$, les solutions ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$ de ${\displaystyle \operatorname {CL} (M,q^{i})}$ vérifient ${\displaystyle {\bar {x}}^{1}\geqslant {\bar {x}}^{2}}$.

Annexes

Notes

1. (en) Pages 134, 161 (théorème 2.3 et note 6.1 du chapitre 6) chez Bermon et Plemmons (1994).

Articles connexes

• Complémentarité linéaire
• Matrice de Hurwitz
• P-matrice
• Z-matrice

Bibliographie

• (en) A. Bermon, R.J. Plemmons (1994). Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphie, USA. (ISBN 0898713218).
• (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
• (en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.

• Portail des mathématiques