Ces méthodes reposent sur le principe de l'itération, c'est-à-dire qu'une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, qui sera retenue pour l'itération suivante.
On considère la résolution du problème:
que l'on va chercher à résoudre en un ensemble discret t0 < t1 < ... < tN. Comme une solution explicite n'est pas toujours disponible, les méthodes prédicteur-correcteur permettent de déterminer une solution approchée aux points . Dans la suite, on notera la solution approchée au temps et la valeur exacte.
Ainsi, pour une solution exacte du problème, on a
Le principe d'une méthode prédicteur-correcteur consiste à faire une première approximation explicite de l'intégrale:
d'où l'étape de prédiction:
puis une deuxième approximation implicite de l'intégrale:
d'où l'étape de correction, qui utilisera le prédicteur:
Le schéma de prédiction repose sur une méthode d'Adams-Bashforth (explicite) et la correction, sur une méthode d'Adams-Moulton (implicite).
Prédiction
Correction:
0
1
1
2
3
0
1
1
2
3
Coefficients des schémas d'Adams-Bashford
Coefficients des schémas d'Adams-Moulton
Méthode de Hamming
Ce schéma est dérivé de celui de Milne, mais Hamming, en 1959, a remplacé le correcteur par une règle stable[4].
Prédiction
Correction:
Chase a mis en évidence que le choix du correcteur est peut-être plus impactant sur la stabilité de la méthode que celui du prédicteur[5], du moins dans la limite d'un pas d'intégration petit. Dans le cas général, les choix du prédicteur et du correcteur ont tous les deux une influence notable sur la stabilité de la méthode.
Dans le cas général, les méthodes de Runge-Kutta sont préférées aux schémas prédicteur-correcteur pour leur adaptabilité et leur mise en œuvre plus simple car totalement explicite. Cependant, pour des méthodes du même ordre de consistance, les méthodes de Runge-Kutta exigent plus d'évaluations de fonctions. Ainsi, dans les cas où on sait que la solution de l'équation n'est pas sujette à de brusques variations de la dérivée, on prendra une méthode de type prédicteur-correcteur
mais, si le pas doit être adapté plus précisément, on préfèrera une méthode de Runge-Kutta.
(en) W. E. Milne et R. R. Reynolds, «Stability of a Numerical Solution of Differential Equations», Journal of the ACM, vol.6, , p.196-203 (lire en ligne)
(en) Richard Wesley Hamming, «Stable Predictor-Corrector Methods for Ordinary Differential Equations», Journal of the ACM, vol.6, no1, , p.37-47 (DOI10.1145/320954.320958, lire en ligne)
(en) P. E. Chase, «Stability Properties of Predictor-Corrector Methods for Ordinary Differential Equations», Journal of the ACM, (DOI10.1145/321138.321143)